Determine A^t, A^-1,(A^-1)^t e (A^t)^-1 para
A=(ll1 & c c & 0), onde c é uma constante.

Passo 1

O enunciado pede quatro operações com a matriz
A = 1 & c [6pt] c & 0,
sendo c uma constante.
Conteúdo: operação de transposição de matriz e fórmula do inverso de uma 2times2.]

Passo 2

Para achar a transposta basta trocar linha por coluna. Assim,
A^t = 1 & c [6pt] c & 0^t = 1 & c [6pt] c & 0
Observe que A é simétrica, então A^t=A.]

Passo 3

O determinante de A é
det(A)=1cdot0 - ccdot c = -c^2
Para A ser invertível precisamos de det(A)neq0, isto é cneq0. Usando a fórmula do inverso de uma 2times2,
A^-1 =1det(A) 0 & -c [4pt] -c & 1 =1-c^2 0 & -c [4pt] -c & 1 = 0 & dfrac1c [8pt] dfrac1c & -dfrac1c^2 ]

Passo 4

Para (A^-1)^t basta transpor o resultado de A^-1. Como
A^-1 = 0 & tfrac1c [4pt] tfrac1c & -tfrac1c^2
é também simétrica, temos
(A^-1)^t = 0 & tfrac1c [4pt] tfrac1c & -tfrac1c^2 ]

Passo 5

Para l(A^tr)^-1 podemos notar que A^t=A, logo
l(A^tr)^-1 = A^-1 = 0 & tfrac1c [4pt] tfrac1c & -tfrac1c^2
Isso confirma a propriedade geral l(A^tr)^-1=(A^-1)^t.]

Resposta

A^t=1 & c [4pt] c & 0,
A^-1= 0 & tfrac1c [6pt] tfrac1c & -tfrac1c^2 , (A^-1)^t= 0 & tfrac1c [6pt] tfrac1c & -tfrac1c^2 , (A^t)^-1= 0 & tfrac1c [6pt] tfrac1c & -tfrac1c^2 ,
válido para cneq0.]

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