Vamos resolver o exercício que pede para determinar A^t (transposta de A ), A^-1 (inversa de A ), (A^-1)^t (transposta da inversa de A ) e (A^t)^-1 (inversa da transposta de A ). Para isso, vamos precisar conhecer os conceitos de matriz transposta e matriz inversa, que são fundamentais na Álgebra Linear.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a transposta de A , ou seja, A^t . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas.
Dada a matriz:
A = 1 & 0 9 & 3
A transposta A^t será:
A^t = 1 & 9 0 & 3
Passo 3
Agora, vamos encontrar a inversa de A , ou seja, A^-1 . A inversa de uma matriz A existe se o determinante de A for diferente de zero. A fórmula para a inversa de uma matriz 2 times 2 é:
A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a
onde A = a & b c & d .
Calculando o determinante de A :
det(A) = (1)(3) - (0)(9) = 3
Como o determinante é diferente de zero, a inversa existe.
Aplicando a fórmula:
A^-1 = 13 3 & 0 -9 & 1 = 1 & 0 -3 & 13
Passo 4
Em seguida, vamos determinar (A^-1)^t , ou seja, a transposta da inversa de A . Já que temos A^-1 = 1 & 0 -3 & 13 , basta trocar linhas por colunas:
(A^-1)^t = 1 & -3 0 & 13
Passo 5
Por fim, vamos encontrar (A^t)^-1 , que é a inversa da transposta de A . Sabemos que:
(A^t)^-1 = (A^-1)^t
Portanto, já calculamos (A^-1)^t e podemos concluir que: