Se
e
, quais das matrizes a seguir são simétricas?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre matrizes simétricas. O enunciado diz que temos duas matrizes
e
que são simétricas, ou seja,
e
. A pergunta é: será que a matriz resultante de
também é simétrica? Para resolver isso, vamos precisar saber o que é uma matriz simétrica e como multiplicar matrizes mantendo essa propriedade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta. Ou seja, para uma matriz
, se
, então
é simétrica.
Passo 3
Agora, vamos analisar a matriz
. Para verificar se ela é simétrica, precisamos comparar essa matriz com a sua transposta
.
Passo 4
Lembrando que a transposta de um produto de matrizes segue a regra
. Aplicando isso aqui, temos:
Passo 5
Como
e
são simétricas, sabemos que
e
. Então:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão da transposta:
Note que
Passo 7
Comparando com
:
Para que
seja simétrica, precisamos que
, ou seja, que
e
comutem.
Passo 8
Se
e
comutam (
), então:
E a transposta é:
Assim,
, o que confirma que a matriz é simétrica.
Resposta
A matriz
é simétrica se e somente se
e
comutarem, ou seja,
.