Se A=A^t e B=B^t, quais das matrizes a seguir são simétricas?
(A+B)(A-B)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre matrizes simétricas. O enunciado diz que temos duas matrizes A e B que são simétricas, ou seja, A = A^t e B = B^t . A pergunta é: será que a matriz resultante de (A+B)(A-B) também é simétrica? Para resolver isso, vamos precisar saber o que é uma matriz simétrica e como multiplicar matrizes mantendo essa propriedade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta. Ou seja, para uma matriz M , se M = M^t , então M é simétrica.

Passo 3

Agora, vamos analisar a matriz (A+B)(A-B) . Para verificar se ela é simétrica, precisamos comparar essa matriz com a sua transposta [(A+B)(A-B)]^t .

Passo 4

Lembrando que a transposta de um produto de matrizes segue a regra (XY)^t = Y^tX^t . Aplicando isso aqui, temos:
[(A+B)(A-B)]^t = (A-B)^t(A+B)^t

Passo 5

Como A e B são simétricas, sabemos que A^t = A e B^t = B . Então:
(A-B)^t = A^t - B^t = A - B
(A+B)^t = A^t + B^t = A + B

Passo 6

Substituindo de volta na expressão da transposta:
[(A+B)(A-B)]^t = (A - B)(A + B)
Note que (A - B)(A + B) = A^2 + AB - BA - B^2

Passo 7

Comparando com (A+B)(A-B) :
(A+B)(A-B) = A^2 - AB + BA - B^2
Para que (A+B)(A-B) seja simétrica, precisamos que AB = BA , ou seja, que A e B comutem.

Passo 8

Se A e B comutam ( AB = BA ), então:
(A+B)(A-B) = A^2 - AB + BA - B^2 = A^2 - B^2
E a transposta é:
[(A+B)(A-B)]^t = A^2 - B^2
Assim, (A+B)(A-B) = [(A+B)(A-B)]^t , o que confirma que a matriz é simétrica.

Resposta

A matriz (A+B)(A-B) é simétrica se e somente se A e B comutarem, ou seja, AB = BA .

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