Se A=A^t e B=B^t, quais das matrizes a seguir são simétricas?
A^2-B^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos diz que as matrizes A e B são simétricas, ou seja, A = A^t e B = B^t . O conteúdo que vamos usar aqui é sobre matrizes simétricas e propriedades de transposta. Precisamos descobrir se a matriz A^2 - B^2 também é simétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser simétrica: uma matriz M é simétrica se for igual à sua transposta, ou seja, M = M^t . Isso é importante porque vamos verificar se A^2 - B^2 satisfaz essa condição.

Passo 3

Sabemos que A e B são simétricas, então:
A = A^t
B = B^t
Agora, vamos calcular a transposta de A^2 e B^2 .

Passo 4

A transposta de um produto de matrizes segue a regra:
(AB)^t = B^tA^t
Como A é simétrica:
(A^2)^t = (AA)^t = A^tA^t = AA = A^2
Portanto, A^2 também é simétrica.

Passo 5

Aplicando o mesmo raciocínio para B^2 :
(B^2)^t = (BB)^t = B^tB^t = BB = B^2
Então, B^2 também é simétrica.

Passo 6

Agora, queremos saber se A^2 - B^2 é simétrica. Vamos calcular a transposta dessa expressão:
(A^2 - B^2)^t = (A^2)^t - (B^2)^t = A^2 - B^2
Como a transposta de A^2 - B^2 é igual a A^2 - B^2 , concluímos que A^2 - B^2 é simétrica.

Resposta

A matriz A^2 - B^2 é simétrica.

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