Use a regra da cadeia para demonstrar que
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar que
Informações e hipóteses necessárias (assumidas para a demonstração):
- A função
é diferenciável no ponto considerado (ou em um intervalo onde a derivada será tomada). - Em tal ponto (ou intervalo) tem-se
, para que esteja bem definida.
Esses são os dados que usaremos. A resolução começará no próximo passo.
Passo 2
Definir a composição que vamos derivar. Seja a função externa
com domínio
, e seja a função interna
. Então a função composta é
Para aplicar a regra da cadeia precisamos conhecer a derivada de
em um ponto
. Vamos calcular
usando a definição do quociente incremental (diferença quociente) e o limite.
Passo 3
Cálculo de
por diferença quociente. Tomando um incremento
pequeno tal que
, temos
Fazendo a subtração de frações e simplificando:
Agora tomamos o limite quando
:
Portanto, para todo
,
Passo 4
Enunciado da regra da cadeia e sua aplicação. A regra da cadeia, em linguagem simples, diz: se
é diferenciável em
e
é diferenciável em
, então a derivada da composição é
Aqui
já foi calculado no passo anterior. Substituindo
em
e aplicando a regra da cadeia:
Passo 5
Organizar o resultado final. Multiplicando os fatores obtemos a forma familiar:
Lembrete final: essa igualdade vale sempre que
for diferenciável no ponto considerado e
.