Use a regra da cadeia para demonstrar que
\frac{d}{d x} \frac{1}{f(x)}=\left(\frac{1}{f}\right)^{\prime}(x)=-\frac{f^{\prime}(x)}{[f(x)]^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar que
\frac{d}{d x}\frac{1}{f(x)}=\left(\frac{1}{f}\right)^{\prime}(x)=-\frac{f^{\prime}(x)}{[f(x)]^{2}}.
Informações e hipóteses necessárias (assumidas para a demonstração):
  • A função f é diferenciável no ponto considerado (ou em um intervalo onde a derivada será tomada).
  • Em tal ponto (ou intervalo) tem-se f(x)\neq 0, para que \dfrac{1}{f(x)} esteja bem definida.
    Esses são os dados que usaremos. A resolução começará no próximo passo.

Passo 2

Definir a composição que vamos derivar. Seja a função externa
g(u)=\frac{1}{u},
com domínio u\neq0, e seja a função interna u=f(x). Então a função composta é
(g\circ f)(x)=g(f(x))=\frac{1}{f(x)}.
Para aplicar a regra da cadeia precisamos conhecer a derivada de g em um ponto u\neq0. Vamos calcular g'(u) usando a definição do quociente incremental (diferença quociente) e o limite.

Passo 3

Cálculo de g'(u) por diferença quociente. Tomando um incremento h pequeno tal que u+h\neq0, temos
\frac{g(u+h)-g(u)}{h}=\frac{\dfrac{1}{u+h}-\dfrac{1}{u}}{h}.
Fazendo a subtração de frações e simplificando:
\frac{\dfrac{1}{u+h}-\dfrac{1}{u}}{h}=\frac{u-(u+h)}{h\,u(u+h)}=\frac{-h}{h\,u(u+h)}=-\frac{1}{u(u+h)}.
Agora tomamos o limite quando h\to 0:
g'(u)=\lim_{h\to 0}\left(-\frac{1}{u(u+h)}\right)=-\frac{1}{u^{2}}.
Portanto, para todo u\neq0,
g'(u)=-\frac{1}{u^{2}}.

Passo 4

Enunciado da regra da cadeia e sua aplicação. A regra da cadeia, em linguagem simples, diz: se y=g(u) é diferenciável em u=f(x) e u=f(x) é diferenciável em x, então a derivada da composição é
\frac{d}{dx}\big(g(f(x))\big)=g'\big(f(x)\big)\cdot f'(x).
Aqui g'(u) já foi calculado no passo anterior. Substituindo u=f(x) em g'(u)=-\dfrac{1}{u^{2}} e aplicando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{f(x)}\right)=g'\big(f(x)\big)\,f'(x)=-\frac{1}{[f(x)]^{2}}\;f'(x).

Passo 5

Organizar o resultado final. Multiplicando os fatores obtemos a forma familiar:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{f(x)}\right)=-\frac{f'(x)}{[f(x)]^{2}}.
Lembrete final: essa igualdade vale sempre que f for diferenciável no ponto considerado e f(x)\neq0.

Resposta

\frac{d}{d x}\frac{1}{f(x)}=-\frac{f^{\prime}(x)}{[f(x)]^{2}}

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