Nas funções a seguir determine os intervalos nos quais ‘‘f’’ é crescente; determine os intervalos onde “f” é decrescente:
f(x)=x^{\frac{4}{3}}+4 x^{\frac{1}{3}}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função
f(x)=x^{\frac{4}{3}}+4\,x^{\frac{1}{3}}.
O conteúdo necessário é derivação de potências fracionárias e estudo de sinal de f'(x).

Passo 2

Calculamos a derivada usando a regra de potência:
f'(x)=\frac{4}{3}\,x^{\frac{1}{3}}+4\cdot\frac{1}{3}\,x^{-\frac{2}{3}} =\frac{4}{3}\bigl(x^{\frac{1}{3}}+x^{-\frac{2}{3}}\bigr).
Para simplificar, fatoramos x^{-\frac{2}{3}}:
f'(x)=\frac{4}{3}\,x^{-\frac{2}{3}}\bigl(x^{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}}+1\bigr) =\frac{4}{3}\,x^{-\frac{2}{3}}(x+1).

Passo 3

Identificamos os pontos críticos e onde f' é indefinida:
f'(x)=0 quando x+1=0, ou seja x=-1.
f'(x) é indefinida em x=0 (denominador nulo).

Passo 4

Estudamos o sinal de f'(x)=\dfrac{4(x+1)}{3\,x^{2/3}}. Note que x^{2/3}>0 sempre que x\neq0. Então o sinal de f'(x) é o mesmo do numerador x+1:
– Para x<-1, x+1<0 f'(x)<0.
– Para -1<x<0, x+1>0 f'(x)>0.
– Para x>0, x+1>0 f'(x)>0.

Passo 5

Concluímos:
f é decrescente quando x<-1.
f é crescente quando -1<x<0 e quando x>0.

Resposta

Crescente em (-1,0)\cup(0,\infty).
Decrescente em (-\infty,-1).

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