Determine se y=e^{3 x}(A+B x), onde A e B são constantes, é solução da equação diferencial
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-6 \frac{d y}{d x}+9 y=0

Passo 1

O enunciado dá:
  • A função proposta \;y=e^{3x}(A+Bx)\;, onde A e B são constantes.
  • A equação diferencial linear homogênea a ser verificada:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-6\frac{dy}{dx}+9y=0.
O que é pedido:
  • Determinar se a função \;y=e^{3x}(A+Bx)\; é solução dessa equação diferencial, isto é, verificar se ao substituir \;y,\;y',\;y''\; na expressão acima obtém-se 0.

Passo 2

Relembrando a regra prática que vou usar (explicação didática):
  • Para derivar um produto \;u(x)v(x)\; usa-se a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(u v\big)=u'\,v+u\,v'.
  • A derivada de \;e^{3x}\; é \;3e^{3x}\;, porque por regra da cadeia a derivada de e^{u(x)} é u'(x)e^{u(x)} e aqui u(x)=3x tem u'(x)=3.
Vou aplicar essas regras para calcular \;y'\; e \;y''\; passo a passo.

Passo 3

Calcular \;y'\;. Temos \;y=e^{3x}(A+Bx)\;. Aplicando a regra do produto:
\frac{dy}{dx}= (e^{3x})'\,(A+Bx)+e^{3x}\,(A+Bx)'.
Substituindo as derivadas conhecidas:
\frac{dy}{dx}= 3e^{3x}(A+Bx)+e^{3x}\cdot B.
Agrupando termos em fator comum e^{3x}:
\frac{dy}{dx}= e^{3x}\big(3(A+Bx)+B\big).
Expandindo levemente para ficar claro:
\frac{dy}{dx}= e^{3x}\big(3A+3Bx+B\big)=e^{3x}\big((3A+B)+3Bx\big).

Passo 4

Calcular \;y''\;. Vou derivar \;y' = e^{3x}\big((3A+B)+3Bx\big)\; novamente usando a regra do produto. Primeiro anotar o conteúdo da parêntese como uma função linear em x:
u(x)=e^{3x},\qquad v(x)=(3A+B)+3Bx.
Aplicando a regra do produto:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=u'\,v+u\,v' = 3e^{3x}\big((3A+B)+3Bx\big)+e^{3x}\cdot(3B).
Colocando e^{3x} em evidência:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}= e^{3x}\big(3((3A+B)+3Bx)+3B\big).
Agora simplificar o conteúdo do parêntese:
3((3A+B)+3Bx)+3B = 9A+3B+9Bx+3B = 9A+6B+9Bx.
Portanto
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}= e^{3x}\big(9A+6B+9Bx\big).

Passo 5

Agora substituo \;y'',\;y',\;y\; na expressão \;y''-6y'+9y\; e verifico se dá zero. Escrever cada termo fatorando e^{3x}:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = e^{3x}\big(9A+6B+9Bx\big),
-6\frac{dy}{dx} = -6\,e^{3x}\big(3A+B+3Bx\big)=e^{3x}\big(-18A-6B-18Bx\big),
9y = 9\,e^{3x}(A+Bx)=e^{3x}\big(9A+9Bx\big).
Somando os três termos:
y''-6y'+9y = e^{3x}\Big[(9A+6B+9Bx)+(-18A-6B-18Bx)+(9A+9Bx)\Big].
Somar coeficientes dentro dos colchetes separando termos constantes em A, termos constantes em B e termos em Bx:
  • Coeficiente de A: 9A-18A+9A=0.
  • Coeficiente do termo constante em B: 6B-6B+0=0.
  • Coeficiente de Bx: 9Bx-18Bx+9Bx=0.
    Portanto o colchete é zero, e assim
y''-6y'+9y = e^{3x}\cdot 0 = 0.

Passo 6

Interpretação final (didática, para você lembrar na prova):
  • A verificação por substituição mostrou que a combinação linear \;y''-6y'+9y\; anula-se identicamente para a função dada, então é solução.
  • Observação adicional útil: o polinômio característico associado à equação é \;r^{2}-6r+9=(r-3)^{2}\;, raiz dupla r=3. Por isso a forma geral das soluções inclui \;e^{3x} e \;x e^{3x}, e a combinação linear \;y=e^{3x}(A+Bx)\; aparece naturalmente como solução geral do caso de raiz dupla.

Resposta

Sim. y=e^{3x}(A+Bx) satisfaz a equação diferencial para quaisquer constantes A e B.

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