Determine se
, onde
e
são constantes, é solução da equação diferencial
Passo 1
O enunciado dá:
- A função proposta
, onde e são constantes. - A equação diferencial linear homogênea a ser verificada:
O que é pedido:
- Determinar se a função
é solução dessa equação diferencial, isto é, verificar se ao substituir na expressão acima obtém-se .
Passo 2
Relembrando a regra prática que vou usar (explicação didática):
- Para derivar um produto
usa-se a regra do produto:
- A derivada de
é , porque por regra da cadeia a derivada de é e aqui tem .
Vou aplicar essas regras para calcular
e
passo a passo.
Passo 3
Calcular
. Temos
. Aplicando a regra do produto:
Substituindo as derivadas conhecidas:
Agrupando termos em fator comum
:
Expandindo levemente para ficar claro:
Passo 4
Calcular
. Vou derivar
novamente usando a regra do produto. Primeiro anotar o conteúdo da parêntese como uma função linear em
:
Aplicando a regra do produto:
Colocando
em evidência:
Agora simplificar o conteúdo do parêntese:
Portanto
Passo 5
Agora substituo
na expressão
e verifico se dá zero. Escrever cada termo fatorando
:
Somando os três termos:
Somar coeficientes dentro dos colchetes separando termos constantes em
, termos constantes em
e termos em
:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente do termo constante em
: . - Coeficiente de
: .
Portanto o colchete é zero, e assim
Passo 6
Interpretação final (didática, para você lembrar na prova):
- A verificação por substituição mostrou que a combinação linear
anula-se identicamente para a função dada, então é solução. - Observação adicional útil: o polinômio característico associado à equação é
, raiz dupla . Por isso a forma geral das soluções inclui e , e a combinação linear aparece naturalmente como solução geral do caso de raiz dupla.
Resposta
Sim.
satisfaz a equação diferencial para quaisquer constantes
e
.