Determine onde nos seguintes casos:

Passo 1

O enunciado define
h(u,v)=fl(x(u,v),y(u,v)r)
com
f(x,y)=x,y, x(u,v)=usin v, y(u,v)=ucos v
e pede partial hpartial u e partial hpartial v.
O conteúdo aqui é a regra da cadeia para funções compostas de várias variáveis:
partial hpartial u =partial fpartial x,partial xpartial u +partial fpartial y,partial ypartial u,
partial hpartial v =partial fpartial x,partial xpartial v +partial fpartial y,partial ypartial v

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x(x,y)=y, partial fpartial y(x,y)=x

Passo 3

Agora as derivadas parciais de x(u,v)=usin v e y(u,v)=ucos v em relação a u:
partial xpartial u=sin v, partial ypartial u=cos v

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para partial hpartial u:
partial hpartial u =partial fpartial x,partial xpartial u +partial fpartial y,partial ypartial u =ysin v + xcos v
Substituindo x=usin v e y=ucos v:
partial hpartial u =ucos v;sin v + usin v;cos v =2usin vcos v =usin(2v)

Passo 5

Derivadas parciais de x e y em relação a v:
partial xpartial v=ucos v, partial ypartial v=-,usin v

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia para partial hpartial v:
partial hpartial v =partial fpartial x,partial xpartial v +partial fpartial y,partial ypartial v =y,(ucos v)+x,(-usin v)
Substituindo x=usin v e y=ucos v:
partial hpartial v =ucos vcdot ucos v - usin vcdot usin v =u^2(cos^2 v-sin^2 v) =u^2cos(2v)

Resposta

partial hpartial u(u,v)=usin(2v), partial hpartial v(u,v)=u^2cos(2v)

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