Seja w=f(x, y, z) função tal que as derivadas parciais são continuas.
Calcule partial fpartial rho, partial fpartial theta e partial fpartial varphi onde (rho, theta, varphi) são as coordenadas esféricas de (x, y, z).

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de f(x,y,z) em relação às coordenadas esféricas (rho,theta,varphi). O conteúdo usado aqui é a regra da cadeia para funções de várias variáveis, já que
w = f(x,y,z)
e (x,y,z) são expressos em termos de (rho,theta,varphi).

Passo 2

Primeiro, escrevemos a mudança de variáveis para coordenadas esféricas:
x = rho,sinvarphicostheta, y = rho,sinvarphisintheta, z = rho,cosvarphi

Passo 3

Para partial fpartial rho aplicamos a regra da cadeia:
partial fpartial rho = fx,partial xpartial rho + fy,partial ypartial rho + fz,partial zpartial rho
Como
partial xpartial rho=sinvarphicostheta, partial ypartial rho=sinvarphisintheta, partial zpartial rho=cosvarphi,
segue que
partial fpartial rho = fx,sinvarphicostheta + fy,sinvarphisintheta + fz,cosvarphi

Passo 4

Para partial fpartial theta usamos também a regra da cadeia:
partial fpartial theta = fx,partial xpartial theta + fy,partial ypartial theta + fz,partial zpartial theta
Aqui
partial xpartial theta = -rho,sinvarphisintheta, partial ypartial theta = rho,sinvarphicostheta, partial zpartial theta = 0,
logo
partial fpartial theta = -rho,fx,sinvarphisintheta + rho,fy,sinvarphicostheta

Passo 5

Finalmente, para partial fpartial varphi:
partial fpartial varphi = fx,partial xpartial varphi + fy,partial ypartial varphi + fz,partial zpartial varphi
Sabemos que
partial xpartial varphi = rho,cosvarphicostheta, partial ypartial varphi = rho,cosvarphisintheta, partial zpartial varphi = -rho,sinvarphi,
portanto
partial fpartial varphi = rho,fx,cosvarphicostheta + rho,fy,cosvarphisintheta - rho,fz,sinvarphi

Resposta

partial fpartial rho = fx,sinvarphicostheta + fy,sinvarphisintheta + fz,cosvarphi,
partial fpartial theta = -rho,fx,sinvarphisintheta + rho,fy,sinvarphicostheta,
partial fpartial varphi = rho,fx,cosvarphicostheta + rho,fy,cosvarphisintheta - rho,fz,sinvarphi

Exercícios relacionados