Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5:
ly^prime prime+x^2 y^prime+ln (1+x) y=0 y(0)=-1, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + x^2y' + ln(1+x),y = 0, y(0)=-1,;y'(0)=1
usando séries de potências, obtendo os termos até x^5. Vamos usar expansão em série de potências para y, para seus derivados e para ln(1+x), e depois igualar coeficientes de x^n.

Passo 2

Assumimos
y(x)=sumn=0^inftyanx^n,
então
y'(x)=sumn=0^infty(n+1)an+1x^n,
y''(x)=sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n
Para o termo x^2y' e para ln(1+x)y usamos
x^2y'(x)=sumn=2^infty(n-1)an-1x^n,
ln(1+x)=sumk=1^infty(-1)^,k-1k,x^k,
de modo que
ln(1+x),y(x) =sumn=0^inftygl(sumk=1^n(-1)^,k-1k,an-kgr)x^n

Passo 3

Substituindo na equação diferencial e igualando coeficiente de x^n a zero, obtemos o quociente de recorrência
(n+2)(n+1)an+2 ;+;(n-1)an-1 ;+;sumk=1^n(-1)^,k-1k,an-k ;=;0, n>=0
As condições iniciais dão
a0=y(0)=-1, a1=y'(0)=1

Passo 4

Cálculo dos coeficientes até n=3:
Para n=0:
2cdot1;a2=0 Rightarrow a2=0
Para n=1:
3cdot2;a3 ;+;a0=0 Rightarrow 6a3 -1=0 ;Rightarrow;a3=16
Para n=2: a soma interna é
;a1-tfrac12a0=1-l(-tfrac12r)=tfrac32,
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4cdot3,a4 +1cdot a1 +l(a1-tfraca02r)=0 ;Rightarrow;12a4+1+tfrac32=0 ;Rightarrow;a4=-524

Passo 5

Para n=3: como a2=0 e a soma interna é
0 ;-;tfrac12a1 ;+;tfrac13a0 =;-tfrac12 -tfrac13 = -tfrac56,
temos
5cdot4,a5 +2,a2 +l(-tfrac56r)=0 ;Rightarrow;20a5-tfrac56=0 ;Rightarrow;a5=124

Resposta

y(x)=-1 + x + tfrac16,x^3 ;-;tfrac524,x^4 ;+;tfrac124,x^5 + O(x^6)

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