Determine se as operações binárias * sobre \mathbb{R}_{+}^{*} é associativa (comutativa) em cada um dos seguintes casos:
a * b=\frac{a b}{a+b}.

Passo 1

O enunciado dá a operação binária * no conjunto \mathbb{R}_{+}^{*} (os reais positivos) definida por
a*b=\frac{ab}{a+b},
e pede para verificar se essa operação é associativa e se é comutativa. Dados relevantes que vou usar: a,b,c são números reais estritamente positivos, logo somas e produtos envolvidos são estritamente positivos e não há divisão por zero.

Passo 2

Definição de comutatividade (a mini-aula): uma operação * é comutativa se, para todo a,b no domínio, vale
a*b = b*a.
Ou seja, trocar a ordem dos fatores não altera o resultado. Aplicando isso à nossa fórmula, calculo a*b e b*a e comparo.

Passo 3

Verificação direta da comutatividade (passo a passo):
a*b=\frac{ab}{a+b}.
Trocando a e b,
b*a=\frac{ba}{b+a}.
Observação simples: ab=ba e a+b=b+a. Portanto as duas frações são idênticas termo a termo, isto é
a*b=\frac{ab}{a+b}=\frac{ba}{b+a}=b*a.
Concluímos (pela verificação) que a operação é comutativa.

Passo 4

Definição de associatividade (a mini-aula): uma operação * é associativa se, para todo a,b,c no domínio, vale
(a*b)*c = a*(b*c).
Para testar isso, vamos calcular explicitamente cada um dos lados e ver se coincidem.

Passo 5

Cálculo de (a*b)*c com simplificações detalhadas:
a*b=\frac{ab}{a+b},
então
(a*b)*c=\frac{\displaystyle\frac{ab}{a+b}\cdot c}{\displaystyle\frac{ab}{a+b}+c}.
Agora simplifico numerador e denominador escrevendo sobre o mesmo denominador (a+b):
\text{numerador}=\frac{abc}{a+b},
\text{denominador}=\frac{ab}{a+b}+c=\frac{ab+c(a+b)}{a+b}=\frac{ab+ac+bc}{a+b}.
Dividindo numerador por denominador (fração sobre fração) cancelo o fator comum \tfrac{1}{a+b}:
(a*b)*c=\frac{\dfrac{abc}{a+b}}{\dfrac{ab+ac+bc}{a+b}}=\frac{abc}{ab+ac+bc}.

Passo 6

Cálculo de a*(b*c) com simplificações detalhadas:
b*c=\frac{bc}{b+c},
então
a*(b*c)=\frac{a\cdot\displaystyle\frac{bc}{b+c}}{a+\displaystyle\frac{bc}{b+c}}.
Escrevendo numerador e denominador sobre o mesmo denominador (b+c):
\text{numerador}=\frac{abc}{b+c},
\text{denominador}=a+\frac{bc}{b+c}=\frac{a(b+c)+bc}{b+c}=\frac{ab+ac+bc}{b+c}.
Dividindo numerador por denominador cancelo o fator comum \tfrac{1}{b+c}:
a*(b*c)=\frac{\dfrac{abc}{b+c}}{\dfrac{ab+ac+bc}{b+c}}=\frac{abc}{ab+ac+bc}.

Passo 7

Comparação e observação final sobre associatividade: dos passos anteriores obtivemos
(a*b)*c=\frac{abc}{ab+ac+bc}
e
a*(b*c)=\frac{abc}{ab+ac+bc}.
Como as expressões são idênticas para quaisquer a,b,c\in\mathbb{R}_{+}^{*} (e denominador ab+ac+bc>0 por positividade), temos (a*b)*c=a*(b*c) para todos os a,b,c. Logo a operação é associativa.

Resposta

Associativa: Sim\n
Comutativa: Sim

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