Determine se as operações binárias * sobre
é associativa (comutativa) em cada um dos seguintes casos:
.
Passo 1
O enunciado dá a operação binária
no conjunto
(os reais positivos) definida por
e pede para verificar se essa operação é associativa e se é comutativa. Dados relevantes que vou usar:
são números reais estritamente positivos, logo somas e produtos envolvidos são estritamente positivos e não há divisão por zero.
Passo 2
Definição de comutatividade (a mini-aula): uma operação
é comutativa se, para todo
no domínio, vale
Ou seja, trocar a ordem dos fatores não altera o resultado. Aplicando isso à nossa fórmula, calculo
e
e comparo.
Passo 3
Verificação direta da comutatividade (passo a passo):
Trocando
e
,
Observação simples:
e
. Portanto as duas frações são idênticas termo a termo, isto é
Concluímos (pela verificação) que a operação é comutativa.
Passo 4
Definição de associatividade (a mini-aula): uma operação
é associativa se, para todo
no domínio, vale
Para testar isso, vamos calcular explicitamente cada um dos lados e ver se coincidem.
Passo 5
Cálculo de
com simplificações detalhadas:
então
Agora simplifico numerador e denominador escrevendo sobre o mesmo denominador
:
Dividindo numerador por denominador (fração sobre fração) cancelo o fator comum
:
Passo 6
Cálculo de
com simplificações detalhadas:
então
Escrevendo numerador e denominador sobre o mesmo denominador
:
Dividindo numerador por denominador cancelo o fator comum
:
Passo 7
Comparação e observação final sobre associatividade: dos passos anteriores obtivemos
e
Como as expressões são idênticas para quaisquer
(e denominador
por positividade), temos
para todos os
. Logo a operação é associativa.
Resposta
Associativa: Sim\n
Comutativa: Sim
Comutativa: Sim