Determine se as operações binárias * sobre (\mathbb{R}) é associativa (comutativa) em cada um dos seguintes casos:
a * b=a^{2} b.

Passo 1

O enunciado define uma operação binária * em \mathbb{R} por
a * b = a^{2}b
Precisamos verificar duas propriedades clássicas:
– Associatividade: se (a*b)*c = a*(b*c) para todos a,b,c\in\mathbb{R}.
– Comutatividade: se a*b = b*a para todos a,b\in\mathbb{R}.

Passo 2

Para testar a associatividade, calculamos separadamente (a*b)*c e a*(b*c).
Começando por
(a*b)*c = (a^{2}b)*c.
Pela definição, isso vale
(a^{2}b)*c = (a^{2}b)^{2}\,c = a^{4}b^{2}c.
Agora computamos
a*(b*c) = a*(b^{2}c).
Isso dá
a*(b^{2}c) = a^{2}\,(b^{2}c) = a^{2}b^{2}c.
Como em geral
a^{4}b^{2}c \neq a^{2}b^{2}c
para valores arbitrários de a, concluímos que a operação não é associativa.

Passo 3

Para testar a comutatividade, comparamos diretamente
a*b = a^{2}b
com
b*a = b^{2}a.
Em geral a^{2}b \neq b^{2}a (por exemplo, para a=2 e b=1 temos 2^{2}\cdot1=4 mas 1^{2}\cdot2=2). Portanto a operação não é comutativa.

Resposta

A operação a*b = a^{2}b não é associativa nem comutativa.

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