Determine se as operações binárias * sobre (\mathbb{R}) é associativa (comutativa) em cada um dos seguintes casos:
.
Passo 1
O enunciado define uma operação binária
em
por
Precisamos verificar duas propriedades clássicas:
– Associatividade: se para todos
.
– Comutatividade: se para todos
.
– Associatividade: se
– Comutatividade: se
Passo 2
Para testar a associatividade, calculamos separadamente
e
.
Começando por
Começando por
Pela definição, isso vale
Agora computamos
Isso dá
Como em geral
para valores arbitrários de
, concluímos que a operação não é associativa.
Passo 3
Para testar a comutatividade, comparamos diretamente
com
Em geral
(por exemplo, para
e
temos
mas
). Portanto a operação não é comutativa.
Resposta
A operação
não é associativa nem comutativa.