Determine se as operações binárias () sobre \mathbb{Z} é associativa (comutativa) em cada um dos seguintes casos:
A operação (
) definida por a * b=-a-b.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a operação * definida em \mathbb{Z} por
a * b = -a - b
é associativa e se é comutativa. Vamos usar as definições:
– \emph{associativa} significa (a*b)*c = a*(b*c) para todos a,b,c;
– \emph{comutativa} significa a*b = b*a para todos a,b.

Passo 2

Calcular (a*b)*c e a*(b*c):
(a*b)*c = \bigl(-a - b\bigr)*c = -\bigl(-a - b\bigr) - c = a + b - c,
a*(b*c) = a*\bigl(-b - c\bigr) = -a -\bigl(-b - c\bigr) = -a + b + c.
Como em geral
a + b - c \neq -a + b + c,
não temos (a*b)*c = a*(b*c) para todos a,b,c. Logo, * não é associativa.

Passo 3

Calcular a*b e b*a:
a*b = -a - b,
b*a = -b - a = -a - b.
Portanto a*b = b*a sempre, e * é comutativa.

Resposta

* não é associativa e é comutativa.

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