Determine se as operações binárias () sobre \mathbb{Z} é associativa (comutativa) em cada um dos seguintes casos:
A operação (
) definida por a * b=2(a+b).

Passo 1

O enunciado nos dá a operação binária * em \mathbb{Z} definida por
a * b = 2\,(a + b),
e pede para verificar duas propriedades clássicas de operações binárias:
– Comutatividade: a * b = b * a para todo a,b\in\mathbb{Z}.
– Associatividade: (a * b) * c = a * (b * c) para todo a,b,c\in\mathbb{Z}.

Passo 2

Para verificar a comutatividade, comparamos a * b e b * a. Temos
a * b = 2\,(a + b)
e
b * a = 2\,(b + a).
Como a adição em \mathbb{Z} é comutativa, (a + b) = (b + a). Logo
a * b = 2\,(a + b) = 2\,(b + a) = b * a,
portanto * é comutativa.

Passo 3

Para testar a associatividade, calculamos cada lado de (a * b) * c = a * (b * c).
Primeiro,
(a * b) * c = \bigl[2\,(a + b)\bigr] * c = 2\bigl(2\,(a + b) + c\bigr) = 4\,a + 4\,b + 2\,c.
Depois,
a * (b * c) = a * \bigl[2\,(b + c)\bigr] = 2\bigl(a + 2\,(b + c)\bigr) = 2\,a + 4\,b + 4\,c.
Para serem iguais precisaríamos
4\,a + 4\,b + 2\,c = 2\,a + 4\,b + 4\,c \quad\Longrightarrow\quad 2\,a = 2\,c
o que só vale quando a=c, mas não para todos a,b,c. Portanto, * não é associativa.

Resposta

* é comutativa e não é associativa.

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