Determine se as operações binárias () sobre
é associativa (comutativa) em cada um dos seguintes casos:
A operação () definida por
.
A operação () definida por
Passo 1
O enunciado nos dá a operação binária
em
definida por
e pede para verificar duas propriedades clássicas de operações binárias:
– Comutatividade: para todo
.
– Associatividade: para todo
.
– Comutatividade:
– Associatividade:
Passo 2
Para verificar a comutatividade, comparamos
e
. Temos
e
Como a adição em
é comutativa,
. Logo
portanto
é comutativa.
Passo 3
Para testar a associatividade, calculamos cada lado de
.
Primeiro,
Depois,
Para serem iguais precisaríamos
o que só vale quando
, mas não para todos
. Portanto,
não é associativa.