Determine se as operações binárias * sobre (\mathbb{R}) é associativa (comutativa) em cada um dos seguintes casos:
.
Passo 1
O enunciado define em
a operação binária
e pede para verificar se essa operação é comutativa e se é associativa.
Passo 2
Verificação da comutatividade. Para quaisquer
:
Como a soma é comutativa, temos
logo
Portanto, a operação é comutativa.
Passo 3
Verificação da associatividade. Calculemos primeiro
e
:
-
:
então
-
:
então
Em geral
Para ilustrar, tome
,
,
:
-
,
então. -
,
então.
Como
, concluímos que a operação não é associativa.
Resposta
Associativa: não
Comutativa: sim
Comutativa: sim