Determine se as operações binárias * sobre (\mathbb{R}) é associativa (comutativa) em cada um dos seguintes casos:
a * b=a^{b}+b^{a}.

Passo 1

O enunciado define em \mathbb{R} a operação binária
a * b = a^{b} + b^{a}
e pede para verificar se essa operação é comutativa e se é associativa.

Passo 2

Verificação da comutatividade. Para quaisquer a,b\in\mathbb{R}:
a * b = a^{b} + b^{a} \quad\text{e}\quad b * a = b^{a} + a^{b}.
Como a soma é comutativa, temos
a^{b} + b^{a} = b^{a} + a^{b},
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a * b = b * a.
Portanto, a operação é comutativa.

Passo 3

Verificação da associatividade. Calculemos primeiro (a*b)*c e a*(b*c):
  1. (a*b)*c:
a*b = a^{b} + b^{a},
então
(a*b)*c = (a^{b} + b^{a}) * c = (a^{b} + b^{a})^{c} \;+\; c^{\,a^{b} + b^{a}}.
  1. a*(b*c):
b*c = b^{c} + c^{b},
então
a*(b*c) = a * (b^{c} + c^{b}) = a^{\,b^{c} + c^{b}} \;+\; (b^{c} + c^{b})^{a}.
Em geral
(a^{b} + b^{a})^{c} + c^{\,a^{b} + b^{a}} \;\neq\; a^{\,b^{c} + c^{b}} + (b^{c} + c^{b})^{a}.
Para ilustrar, tome a=1, b=2, c=3:
  • 1*2 = 1^{2}+2^{1}=1+2=3,
    então (1*2)*3 = 3*3 = 3^{3}+3^{3}=27+27=54.
  • 2*3 = 2^{3}+3^{2}=8+9=17,
    então 1*(2*3) = 1*17 = 1^{17}+17^{1}=1+17=18.
Como 54 \neq 18, concluímos que a operação não é associativa.

Resposta

Associativa: não
Comutativa: sim

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