Determine se as operações binárias () sobre \mathbb{Z} é associativa (comutativa) em cada um dos seguintes casos:
A operação (
) definida por a * b=a-b.

Passo 1

O enunciado define em \mathbb{Z} a operação binária
a * b = a - b
e pede para verificar se ela é (1) comutativa e (2) associativa. Para isso, usaremos as definições:
– Comutativa: a * b = b * a para todo a,b\in\mathbb{Z}.
– Associativa: (a * b) * c = a * (b * c) para todo a,b,c\in\mathbb{Z}.

Passo 2

Verificando a comutatividade: seja a,b\in\mathbb{Z}.
a * b = a - b
b * a = b - a
Em geral a - b \neq b - a (por exemplo, para a=5,b=2 temos 5-2=3 mas 2-5=-3).
Logo, a * b \neq b * a na maioria dos casos, e a operação não é comutativa.

Passo 3

Verificando a associatividade: sejam a,b,c\in\mathbb{Z}.
Calculemos primeiro (a * b) * c:
(a * b) * c = (a - b) * c = (a - b) - c = a - b - c.
Agora calculemos a * (b * c):
a * (b * c) = a * (b - c) = a - (b - c) = a - b + c.
Como em geral a - b - c \neq a - b + c, temos
(a * b) * c \neq a * (b * c),
logo a operação não é associativa.

Resposta

A operação a * b = a - b em \mathbb{Z} não é comutativa nem associativa.

Exercícios relacionados