Determine se as operações binárias () sobre
é associativa (comutativa) em cada um dos seguintes casos:
A operação () definida por
.
A operação () definida por
Passo 1
O enunciado define em
a operação binária
e pede para verificar se ela é (1) comutativa e (2) associativa. Para isso, usaremos as definições:
– Comutativa: para todo
.
– Associativa: para todo
.
– Comutativa:
– Associativa:
Passo 2
Verificando a comutatividade: seja
.
Em geral
(por exemplo, para
temos
mas
).
Logo, na maioria dos casos, e a operação não é comutativa.
Logo,
Passo 3
Verificando a associatividade: sejam
.
Calculemos primeiro :
Calculemos primeiro
Agora calculemos
:
Como em geral
, temos
logo a operação não é associativa.
Resposta
A operação
em
não é comutativa nem associativa.