Determine quais das seguintes operações são operações binárias () sobre \mathbb{N} :
A operação (
) definida por a * b=a+b+1.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a operação
a * b = a + b + 1
definida sobre \mathbb{N} (o conjunto dos números naturais) é de fato uma operação binária. Para isso precisamos checar se ela satisfaz a propriedade de fechamento, ou seja, se para todo a,b\in\mathbb{N} o resultado a*b também está em \mathbb{N}.

Passo 2

Sejam a,b\in\mathbb{N}. Então
a+b\in\mathbb{N}
pois a soma de dois naturais é natural. Somando mais 1, temos
a+b+1\in\mathbb{N}.
Logo, sempre que aplicamos * a dois elementos de \mathbb{N}, o resultado permanece em \mathbb{N}.

Resposta

A operação \displaystyle a*b = a+b+1 é uma operação binária sobre \mathbb{N}, pois satisfaz a propriedade de fechamento.

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