Determine se as operações binárias () sobre \mathbb{Z} é associativa (comutativa) em cada um dos seguintes casos:
A operação (
) definida por a * b=a^{2}+b^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a operação binária *\colon \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\to\mathbb{Z} definida por
a * b = a^{2} + b^{2}
e pede para verificar se ela é comutativa e se é associativa.

Passo 2

Para testar a comutatividade, comparamos a*b com b*a.
a*b = a^{2} + b^{2},\qquad b*a = b^{2} + a^{2}.
Como a soma é comutativa em \mathbb{Z}, temos a^{2}+b^{2}=b^{2}+a^{2}. Logo
a*b = b*a
para todos a,b\in\mathbb{Z}. Portanto, * é comutativa.

Passo 3

Para testar a associatividade, calculamos (a*b)*c e a*(b*c) e comparamos:
(a*b)*c = (a^{2}+b^{2})^{2} + c^{2},
a*(b*c) = a^{2} + (b^{2}+c^{2})^{2}.
Em geral (a^{2}+b^{2})^{2} + c^{2}\neq a^{2} + (b^{2}+c^{2})^{2}. Por exemplo, para a=1, b=2, c=3:
(a*b)*c = (1^{2}+2^{2})^{2} + 3^{2} = 5^{2} + 9 = 25 + 9 = 34,
a*(b*c) = 1^{2} + (2^{2}+3^{2})^{2} = 1 + 13^{2} = 1 + 169 = 170.
Como 34\neq170, * não é associativa.

Resposta

Comutativa: Sim.
Associativa: Não.

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