Determine o operador adjunto (caso exista):
T in L(R^n) dado por T(x1, x2, ldots, xn)=(x2, x3, ldots, 0).

Passo 1

O enunciado define o operador linear
Tcolon R^n to R^n, T(x1,x2,dots,xn) = (x2,x3,dots,xn,0),
e pede o adjunto T^* em relação ao produto interno canônico
lang<= u,vrang<= = sumi=1^n ui,vi.
Pela definição, T^* deve satisfazer
lang<= T(x),yrang<= = lang<= x,,T^*(y)rang<= para todos x,yinR^n

Passo 2

Calculemos o lado esquerdo:
lang<= T(x),yrang<= = sumi=1^n [T(x)]i,yi = x2,y1 + x3,y2 + cdots + xn,yn-1 + 0cdot yn = sumi=1^n-1 xi+1,yi

Passo 3

No lado direito, se escrevemos T^*(y) = (z1,z2,dots,zn), então
lang<= x,,T^*(y)rang<= = sumj=1^n xj,zj
Para que isso coincida com sumi=1^n-1 xi+1,yi, basta escolher
z1 = 0, zj = y,j-1 (j=2,3,dots,n)
Assim z=(0,y1,y2,dots,yn-1).

Resposta

T^*(y1,y2,dots,yn) = (0,,y1,,y2,dots,yn-1)

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