Resolver as inequações em R :
tg^2 x>3

Passo 1

O enunciado pede a resolução da inequação trigonométrica tan^2 x>3 em R. O conteúdo envolve manipular inequações com função tangente, explorando sua monotonicidade em cada ramo e a periodicidade pi. Vamos reescrever em termos de tan x, achar as soluções num ciclo fundamental e depois generalizar.

Passo 2

Reescrevendo
tan^2 x>3
vemos que é equivalente a
|tan x|>raiz3

Passo 3

Isso gera duas inequações separadas:
tan x>raiz3 ou tan x<-raiz3

Passo 4

No intervalo fundamental l(-tfracpi2,tfracpi2r), a função tan x é estritamente crescente de -infty a +infty. Logo:
  • De tan x>raiz3 segue x>arctan(raiz3)=tfracpi3, isto é xinl(tfracpi3,tfracpi2r)
  • De tan x<-raiz3 segue x<arctan(-raiz3)=-tfracpi3, isto é xinl(-tfracpi2,-tfracpi3r)

Passo 5

Como tan(x+kpi)=tan x para todo kinZ, basta somar kpi aos intervalos acima. Assim as soluções em R são
xinl(tfracpi3+kpi,;tfracpi2+kpir) ou xinl(-tfracpi2+kpi,;-tfracpi3+kpir), kinZ

Resposta

,xinRmidtan^2 x>3 =cupkinZl(l(tfracpi3+kpi,tfracpi2+kpir) ;cup;l(-tfracpi2+kpi,-tfracpi3+kpir)r)

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