Sejam A=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 2 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]. Mostre que A e B tem polinômios característicos diferentes (e que, assim, não são semelhantes), mas têm o mesmo polinômio mínimo. Assim, matrizes não semelhantes podem ter o mesmo polinômio mínimo.
e pede para mostrar que elas têm polinômios característicos diferentes (logo não são semelhantes), mas o mesmo polinômio mínimo. Vamos usar as definições de polinômio característico, determinante de matriz triangular, valor próprio, multiplicidade algébrica e geométrica, e o fato de que o polinômio mínimo é o menor polinômio anulador cujas raízes são exatamente os valores próprios.
Passo 2
Como A é triangular, o seu polinômio característico vem do produto dos termos \lambda menos cada elemento da diagonal. Assim,
\chi_A(\lambda)\;=\;\det(\lambda I - A) \;=\;(\lambda-1)\,(\lambda-2)\,(\lambda-1) \;=\;(\lambda-1)^2(\lambda-2).
Passo 3
De modo análogo para B, que também é triangular, temos
\chi_B(\lambda)\;=\;\det(\lambda I - B) \;=\;(\lambda-2)\,(\lambda-2)\,(\lambda-1) \;=\;(\lambda-2)^2(\lambda-1).
Passo 4
Como \chi_A(\lambda)=(\lambda-1)^2(\lambda-2)
e \chi_B(\lambda)=(\lambda-2)^2(\lambda-1)
são diferentes, concluímos que A e B não podem ser semelhantes (matrizes semelhantes têm sempre o mesmo polinômio característico).
Passo 5
Para o polinômio mínimo m_A(\lambda), lembramos que ele deve dividir \chi_A(\lambda) e ter como raízes exatamente os valores próprios de A, que são \lambda=1 e \lambda=2. As únicas opções monicas que satisfazem isso são \lambda-1, \lambda-2 ou (\lambda-1)(\lambda-2).
Nenhum dos polinômios lineares anula A por si só (por exemplo, A-I\neq0 e A-2I\neq0), então o polinômio mínimo de A deve ser
m_A(\lambda) \;=\;(\lambda-1)(\lambda-2).
Passo 6
O mesmo raciocínio vale para B: seus valores próprios são \lambda=2 e \lambda=1, com multiplicidades algébricas 2 e 1 respectivamente, sem blocos de Jordan de tamanho maior que 1 (geometricamente diagonalizável em cada valor próprio). Logo o polinômio mínimo de B também é
m_B(\lambda) \;=\;(\lambda-1)(\lambda-2).
Passo 7
Portanto, embora \chi_A(\lambda)\neq \chi_B(\lambda),
temos