Questão 5 Considere a equação:
a) Classifique a cônica representada por essa equação.
b) Reescreva a equação na forma canônica.
c) Determine os vértices, os focos e a excentricidade da curva.
d) Esboce a curva no plano
.
b) Reescreva a equação na forma canônica.
c) Determine os vértices, os focos e a excentricidade da curva.
d) Esboce a curva no plano
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede:
– (a) classificar a cônica;
– (b) reescrevê-la na forma canônica;
– (c) achar vértices, focos e excentricidade;
– (d) esboçar a curva.
O conteúdo é estudo de hipérboles centradas na origem e vamos usar identificação de coeficientes, divisão por constante para normalizar e fórmulas padrão para vértices e focos.
– (a) classificar a cônica;
– (b) reescrevê-la na forma canônica;
– (c) achar vértices, focos e excentricidade;
– (d) esboçar a curva.
O conteúdo é estudo de hipérboles centradas na origem e vamos usar identificação de coeficientes, divisão por constante para normalizar e fórmulas padrão para vértices e focos.
Passo 2
Para classificar note que os coeficientes de
e
têm sinais opostos. Numa cônica geral
, isso caracteriza uma hipérbole.
Passo 3
Para a forma canônica dividimos ambos os lados por
:
e simplificamos o segundo termo:
Passo 4
Na forma
temos
e
, logo
e
. Os vértices situam-se em
, ou seja,
Passo 5
O parâmetro
dos focos vem de
logo
. Os focos são
A excentricidade é
Passo 6
Para esboçar a hipérbole note que os ramos abrem para a direita e esquerda a partir do centro
. As retas assíntotas são
Basta desenhar os eixos, marcar os vértices
, as assíntotas
e traçar duas curvas que se aproximem dessas retas, abrindo para os lados.
Resposta
a) É uma hipérbole.
b) .
c) Vértices em , focos em
, excentricidade
.
d) Dois ramos centrados em abrindo para esquerda e direita, com assíntotas
.
b)
c) Vértices em
d) Dois ramos centrados em