Questão 5 Considere a equação:
x^{2}-4 y^{2}=36
a) Classifique a cônica representada por essa equação.
b) Reescreva a equação na forma canônica.
c) Determine os vértices, os focos e a excentricidade da curva.
d) Esboce a curva no plano x y.

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{2}-4y^{2}=36
e pede:
– (a) classificar a cônica;
– (b) reescrevê-la na forma canônica;
– (c) achar vértices, focos e excentricidade;
– (d) esboçar a curva.
O conteúdo é estudo de hipérboles centradas na origem e vamos usar identificação de coeficientes, divisão por constante para normalizar e fórmulas padrão para vértices e focos.

Passo 2

Para classificar note que os coeficientes de x^{2} e y^{2} têm sinais opostos. Numa cônica geral Ax^{2}+Cy^{2}+\dots=0, isso caracteriza uma hipérbole.

Passo 3

Para a forma canônica dividimos ambos os lados por 36:
\frac{x^{2}}{36}-\frac{4y^{2}}{36}=1
e simplificamos o segundo termo:
\frac{x^{2}}{36}-\frac{y^{2}}{9}=1.

Passo 4

Na forma
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
temos a^{2}=36 e b^{2}=9, logo a=6 e b=3. Os vértices situam-se em (\pm a,0), ou seja,
(\pm 6,0).

Passo 5

O parâmetro c dos focos vem de
c^{2}=a^{2}+b^{2}=36+9=45,
logo c=\sqrt{45}=3\sqrt{5}. Os focos são
(\pm 3\sqrt{5},0).
A excentricidade é
e=\frac{c}{a}=\frac{3\sqrt{5}}{6}=\frac{\sqrt{5}}{2}.

Passo 6

Para esboçar a hipérbole note que os ramos abrem para a direita e esquerda a partir do centro (0,0). As retas assíntotas são
y=\pm\frac{b}{a}\,x=\pm\frac{3}{6}\,x=\pm\frac{x}{2}.
Basta desenhar os eixos, marcar os vértices (\pm6,0), as assíntotas y=\pm x/2 e traçar duas curvas que se aproximem dessas retas, abrindo para os lados.

Resposta

a) É uma hipérbole.
b) \displaystyle \frac{x^{2}}{36}-\frac{y^{2}}{9}=1.
c) Vértices em (\pm6,0), focos em (\pm3\sqrt{5},0), excentricidade e=\tfrac{\sqrt{5}}{2}.
d) Dois ramos centrados em (0,0) abrindo para esquerda e direita, com assíntotas y=\pm x/2.

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