Sejam os pontos A(1,3,-1), B(5,-6,2) e C(1,-1,2).
a) Mostre que os pontos A, B e C determinam um triângulo;
b) Calcule o comprimento da altura do triângulo ABC , relativa ao vértice B . h=5

Passo 1

Temos os pontos A(1,3,-1), B(5,-6,2) e C(1,-1,2). O objetivo é:
  1. Mostrar que não são colineares (logo, formam um triângulo).
  2. Calcular a altura relativa ao vértice B, ou seja, a distância de B à reta que passa por A e C.

Passo 2

Definimos os vetores
AB = B - A = (5-1,,-6-3,;2-(-1)) = (4,-9,3)
AC = C - A = (1-1,,-1-3,;2-(-1)) = (0,-4,3)
Para que A, B e C fossem colineares, teríamos AB = lambda,AC para algum lambda. Mas a primeira componente de AC é zero e a de AB é 4neq0. Portanto não há lambda que faça
AB = lambda,AC,
isto é, os vetores não são paralelos e os pontos não são colineares.

Passo 3

A altura relativa a B é a distância de B à reta AC. Em 3D isso vale
h ;=;|ABtimesAC||AC|
Calculamos o produto vetorial:
ABtimesAC = l((-9)cdot3 - 3cdot(-4),; -(4cdot3 - 3cdot0),; 4cdot(-4) - (-9)cdot0r) = (-27 + 12,,-12,,-16) = (-15,,-12,,-16)

Passo 4

Calculamos as normas:
|ABtimesAC| =raiz(-15)^2+(-12)^2+(-16)^2 =raiz225+144+256 =raiz625 =25,
|AC| =raiz0^2+(-4)^2+3^2 =raiz16+9 =5
Logo
h = 255 = 5

Resposta

h = 5

Exercícios relacionados