Seja T: R^2 R^2, tal que [T]beta=(cc-1 & -2 0 & 2) e beta é a base canônica de R^2. Encontre os vetores u e v tais que
(a) T u=u
(b) T v=-v

Passo 1

O enunciado pede para achar vetores em R^2 que satisfazem Tu = u e Tv = -v, onde a matriz de T na base canônica é
[T]beta = -1 & -2 0 & 2
O conteúdo principal aqui é o de autovalores e autovetores de uma transformação linear, então vamos precisar do polinômio característico e da resolução de sistemas lineares homogêneos.

Passo 2

Primeiro, determinamos os autovalores lambda de A = [T]beta resolvendo o polinômio característico
det(A - lambda I) = det-1-lambda & -2 0 & 2-lambda = (-1-lambda)(2-lambda)
Assim, as raízes são lambda = -1 e lambda = 2.

Passo 3

Para encontrar u tal que Tu = u assumimos lambda = 1 e resolvemos
(A - I)u = 0,
onde
A - I = -1-1 & -2 0 & 2-1 = -2 & -2 0 & 1
O sistema é
-2x - 2y = 0, y = 0
Da segunda equação vem y = 0 e, daí, x = 0. Logo, o único vetor que satisfaz é u = (0,0).

Passo 4

Para encontrar v tal que Tv = -v tomamos lambda = -1 e resolvemos
(A + I)v = 0,
com
A + I = -1+1 & -2 0 & 2+1 = 0 & -2 0 & 3
O sistema homogêneo é
-2y = 0, 3y = 0,
que dá y=0 e deixa x livre. Assim, os vetores próprios associados a lambda = -1 são v = (x,0). Podemos escolher, por exemplo, v = (1,0).

Resposta

u = (0,0) e v = (1,0)

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