Determine autovalores, autovetores e verifique se é diagonalizável.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}4 & 1 \\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}
e pede três coisas:
Determinar os autovalores de A.
Determinar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Verificar se A é diagonalizável.
As informações relevantes que temos são os elementos de A: primeira linha (4,1) e segunda linha (2,3). Nada mais foi dado.]
Passo 2
O que é um autovalor e um autovetor (explicação didática)?
Um vetor v\neq 0 é autovetor de A se existir um número \lambda tal que
A v = \lambda v.
Esse número \lambda é o autovalor associado.
Para encontrar \lambda procuramos vetores não nulos v que satisfazem (A-\lambda I)v=0. Isso tem solução não trivial exatamente quando a matriz A-\lambda I é singular, ou seja, quando
\det(A-\lambda I)=0.
A equação \det(A-\lambda I)=0 chama-se polinômio característico; suas raízes são os autovalores.
Ambas as equações coincidem; da primeira vem y=-2x. Logo os autovetores têm a forma
v = \begin{pmatrix}x\\[4pt] -2x\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1\\[4pt] -2\end{pmatrix},\qquad x\neq 0.
Escolho um representante simples:
v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt] -2\end{pmatrix}.]
Passo 6
Verificar diagonalizabilidade (explicação didática e checagem).
Um critério muito prático: uma matriz 2\times 2 é diagonalizável se existir uma base de \mathbb{R}^2 (ou \mathbb{C}^2) formada por autovetores, isto é, se conseguir dois autovetores linearmente independentes. Outra observação útil: se os autovalores são distintos, então autovetores associados são necessariamente linearmente independentes — isso garante diagonalizabilidade.
Aqui os autovalores \lambda_1=5 e \lambda_2=2 são distintos. Já encontrei autovetores v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} e v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}. Para confirmar independência linear, calculo o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores:
mas não é necessário calcular \emph{explicitamente} para concluir diagonalizabilidade.)]
Resposta
Autovalores: \lambda_1=5, \lambda_2=2.
Autovetores: para \lambda_1=5 qualquer múltiplo de \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}; para \lambda_2=2 qualquer múltiplo de \begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Diagonalizável: Sim. Uma escolha de P e D é