1. Seja T: V \rightarrow V. Mostre que V=\operatorname{ker} T \oplus U para algum U.

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação linear T: V \to V (sobre algum corpo) e pede que mostremos que existe um subespaço U de V tal que
V=\ker T\oplus U.
Vamos deixar claro o que isso significa: a igualdade V=\ker T\oplus U exige duas coisas simultâneas:
  1. Todo vetor de V é soma de um vetor de \ker T com um vetor de U; em notação,
V=\ker T + U.
  1. A interseção é trivial:
\ker T\cap U=\{0\}.
Mostrando essas duas propriedades para um certo subespaço U teremos a decomposição direta pedida.

Passo 2

Ideia básica (sem usar jargão técnico demais): escolha uma base do subespaço \ker T e complete essa base até uma base de V. O conjunto de vetores que foram acrescentados gera um subespaço complementar U. Antes de executar isso, lembro dois conceitos e o porquê deles serem úteis.
Definições e fatos usados (muito explicados):
  • Uma família de vetores é linearmente independente se nenhuma combinação linear não-trivial deles dá o vetor zero. Ou seja, \alpha_1 w_1+\cdots+\alpha_r w_r=0 implica \alpha_i=0 para todo i.
  • Um conjunto de vetores gera (ou põe como gerador) um subespaço se todo vetor do subespaço é combinação linear desses vetores.
  • Uma base de um espaço vetorial é uma família linearmente independente que gera todo o espaço. Ter uma base significa que cada vetor tem uma representação única como combinação linear da base.
  • Teorema-prático (extensão de base): qualquer família linearmente independente pode ser estendida a uma base do espaço. Em particular, uma base de um subespaço pode ser completada para uma base do espaço todo.
Esses fatos permitem construir um subespaço U que, junto com \ker T, dá a soma direta: vamos aplicá-los agora concretamente.

Passo 3

Construa explicitamente a base e o subespaço U.
  • Tome uma base de \ker T. Seja essa base
\{u_1,\dots,u_k\},
ou seja, \ker T=\operatorname{span}\{u_1,\dots,u_k\}.
  • Pelo teorema de extensão de base, existe um conjunto de vetores \{v_1,\dots,v_m\} tais que
\{u_1,\dots,u_k,v_1,\dots,v_m\}
é uma base de V. Ou seja, esses k+m vetores são linearmente independentes e geram V.
  • Defina o subespaço
U=\operatorname{span}\{v_1,\dots,v_m\}.
Agora vamos verificar as duas propriedades necessárias para V=\ker T\oplus U.

Passo 4

Verificação de V=\ker T+U.
Como \{u_1,\dots,u_k,v_1,\dots,v_m\} é uma base de V, qualquer vetor x\in V pode ser escrito como combinação linear desses vetores:
x=\sum_{i=1}^k \alpha_i u_i + \sum_{j=1}^m \beta_j v_j,
para alguns escalares \alpha_i,\beta_j. A primeira soma está em \ker T (pois é combinação de u_i) e a segunda está em U. Assim x=a+b com a\in\ker T e b\in U. Logo todo x\in V pertence a \ker T+U, o que prova
V=\ker T+U.

Passo 5

Verificação de \ker T\cap U=\{0\}.
Se z\in\ker T\cap U, então z é combinação linear tanto dos u_i quanto dos v_j. Ou seja, existem escalares \alpha_i e \beta_j tais que
z=\sum_{i=1}^k \alpha_i u_i = \sum_{j=1}^m \beta_j v_j.
Subtraindo os dois lados obtemos uma combinação linear dos vetores da base que dá zero:
\sum_{i=1}^k \alpha_i u_i - \sum_{j=1}^m \beta_j v_j = 0.
Mas como \{u_1,\dots,u_k,v_1,\dots,v_m\} é linearmente independente, todos os coeficientes devem ser zero: \alpha_i=0 para todo i e \beta_j=0 para todo j. Portanto z=0. Assim a interseção é apenas o vetor zero:
\ker T\cap U=\{0\}.

Passo 6

Conclusão e comentário final.
Das Passos 4 e 5 concluímos que V=\ker T+U e que \ker T\cap U=\{0\}. Por definição, isso significa que
V=\ker T\oplus U.
Observação prática e motivadora: a escolha de U não é única — depende de como se estende a base de \ker T — mas o que importa para a prova é que pelo menos uma escolha sempre existe. Portanto sempre existe um complementar diretto de \ker T em V.
Exemplo simples para fixar a ideia: se V=\mathbb{R}^2 e T(x,y)=(x,0), então \ker T=\operatorname{span}\{(0,1)\}. A base \{(0,1)\} pode ser completada com (1,0), e U=\operatorname{span}\{(1,0)\} satisfaz \mathbb{R}^2=\ker T\oplus U. Isso é exatamente o processo usado acima, só que no caso geral.

Resposta

V = \ker T \oplus U, onde U=\operatorname{span}\{v_1,\dots,v_m\} é obtido completando uma base \{u_1,\dots,u_k\} de \ker T até uma base \{u_1,\dots,u_k,v_1,\dots,v_m\} de V.

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