- Seja
. Mostre que
para algum
.
Passo 1
O enunciado dá uma aplicação linear
(sobre algum corpo) e pede que mostremos que existe um subespaço
de
tal que
Vamos deixar claro o que isso significa: a igualdade
exige duas coisas simultâneas:
- Todo vetor de
é soma de um vetor de com um vetor de ; em notação,
- A interseção é trivial:
Mostrando essas duas propriedades para um certo subespaço
teremos a decomposição direta pedida.
Passo 2
Ideia básica (sem usar jargão técnico demais): escolha uma base do subespaço
e complete essa base até uma base de
. O conjunto de vetores que foram acrescentados gera um subespaço complementar
. Antes de executar isso, lembro dois conceitos e o porquê deles serem úteis.
Definições e fatos usados (muito explicados):
- Uma família de vetores é linearmente independente se nenhuma combinação linear não-trivial deles dá o vetor zero. Ou seja,
implica para todo . - Um conjunto de vetores gera (ou põe como gerador) um subespaço se todo vetor do subespaço é combinação linear desses vetores.
- Uma base de um espaço vetorial é uma família linearmente independente que gera todo o espaço. Ter uma base significa que cada vetor tem uma representação única como combinação linear da base.
- Teorema-prático (extensão de base): qualquer família linearmente independente pode ser estendida a uma base do espaço. Em particular, uma base de um subespaço pode ser completada para uma base do espaço todo.
Esses fatos permitem construir um subespaço
que, junto com
, dá a soma direta: vamos aplicá-los agora concretamente.
Passo 3
Construa explicitamente a base e o subespaço
.
- Tome uma base de
. Seja essa base
ou seja,
.
- Pelo teorema de extensão de base, existe um conjunto de vetores
tais que
é uma base de
. Ou seja, esses
vetores são linearmente independentes e geram
.
- Defina o subespaço
Agora vamos verificar as duas propriedades necessárias para
.
Passo 4
Verificação de
.
Como
é uma base de
, qualquer vetor
pode ser escrito como combinação linear desses vetores:
para alguns escalares
. A primeira soma está em
(pois é combinação de
) e a segunda está em
. Assim
com
e
. Logo todo
pertence a
, o que prova
Passo 5
Verificação de
.
Se
, então
é combinação linear tanto dos
quanto dos
. Ou seja, existem escalares
e
tais que
Subtraindo os dois lados obtemos uma combinação linear dos vetores da base que dá zero:
Mas como
é linearmente independente, todos os coeficientes devem ser zero:
para todo
e
para todo
. Portanto
. Assim a interseção é apenas o vetor zero:
Passo 6
Conclusão e comentário final.
Das Passos 4 e 5 concluímos que
e que
. Por definição, isso significa que
Observação prática e motivadora: a escolha de
não é única — depende de como se estende a base de
— mas o que importa para a prova é que pelo menos uma escolha sempre existe. Portanto sempre existe um complementar diretto de
em
.
Exemplo simples para fixar a ideia: se
e
, então
. A base
pode ser completada com
, e
satisfaz
. Isso é exatamente o processo usado acima, só que no caso geral.
Resposta
V = \ker T \oplus U, onde
é obtido completando uma base
de
até uma base
de
.