Determine [S] (ou \operatorname{ger}(S) ) em cada caso, justificando se S é base de \operatorname{ger}(S) : S=\left\{\left[\begin{array}{ll}-1 & 2 \\\\ -3 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}2 & -3 \\\\ 3 & 0\end{array}\right]\right\}
Passo 1
O enunciado pede para determinar [S]=\operatorname{ger}(S) onde
e dizer se S é base de \operatorname{ger}(S). O conteúdo envolve combinação linear, span de vetores em \mathbb{R}^{2\times2} e teste de independência linear.
Passo 2
Para achar \operatorname{ger}(S) escrevemos a combinação linear geral de A e B:
Da última equação vem x=0\]. Substituindo em \(-x+2y=0 resulta 2y=0, logo y=0. Assim a única solução é trivial, o que prova que A e B são linearmente independentes.
Passo 4
Como \operatorname{ger}(S) é gerado por dois vetores independentes em um espaço de dimensão 4, temos \dim\bigl(\operatorname{ger}(S)\bigr)=2 e S é base de \operatorname{ger}(S).
Resposta
\displaystyle \operatorname{ger}(S)
=\bigl\{xA+yB : x,y\in\mathbb{R}\bigr\}
=\Bigl\{\begin{pmatrix}-x+2y & 2x-3y \\\\ -3x+3y & x\end{pmatrix}:x,y\in\mathbb{R}\Bigr\},
e S é base de \operatorname{ger}(S) pois seus dois elementos são linearmente independentes.