Determine [S] (ou \operatorname{ger}(S) ) em cada caso, justificando se S é base de \operatorname{ger}(S) :
S=\left\{\left[\begin{array}{ll}-1 & 2 \\\\ -3 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}2 & -3 \\\\ 3 & 0\end{array}\right]\right\}

Passo 1

O enunciado pede para determinar [S]=\operatorname{ger}(S) onde
S=\left\{A,B\right\},\quad A=\begin{pmatrix}-1 & 2 \\\\ -3 & 1\end{pmatrix},\; B=\begin{pmatrix}2 & -3 \\\\ 3 & 0\end{pmatrix},
e dizer se S é base de \operatorname{ger}(S). O conteúdo envolve combinação linear, span de vetores em \mathbb{R}^{2\times2} e teste de independência linear.

Passo 2

Para achar \operatorname{ger}(S) escrevemos a combinação linear geral de A e B:
xA + yB = x\begin{pmatrix}-1 & 2 \\\\ -3 & 1\end{pmatrix} + y\begin{pmatrix}2 & -3 \\\\ 3 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-x+2y & 2x-3y \\[6pt] -3x+3y & x\end{pmatrix},
onde x,y\in\mathbb{R}. Logo
\operatorname{ger}(S) =\bigl\{\begin{pmatrix}-x+2y & 2x-3y \\\\ -3x+3y & x\end{pmatrix}:x,y\in\mathbb{R}\bigr\}.]

Passo 3

Para verificar se S\) é independente, resolvemos \[xA+yB=0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}-x+2y & 2x-3y \\\\ -3x+3y & x\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}.
Isso gera o sistema
\begin{cases} -x+2y=0,\\\\ 2x-3y=0,\\\\ -3x+3y=0,\\\ x=0. \end{cases}
Da última equação vem x=0\]. Substituindo em \(-x+2y=0 resulta 2y=0, logo y=0. Assim a única solução é trivial, o que prova que A e B são linearmente independentes.

Passo 4

Como \operatorname{ger}(S) é gerado por dois vetores independentes em um espaço de dimensão 4, temos \dim\bigl(\operatorname{ger}(S)\bigr)=2 e S é base de \operatorname{ger}(S).

Resposta

\displaystyle \operatorname{ger}(S) =\bigl\{xA+yB : x,y\in\mathbb{R}\bigr\} =\Bigl\{\begin{pmatrix}-x+2y & 2x-3y \\\\ -3x+3y & x\end{pmatrix}:x,y\in\mathbb{R}\Bigr\},
e S é base de \operatorname{ger}(S) pois seus dois elementos são linearmente independentes.

Exercícios relacionados