Determine [S] (ou \operatorname{ger}(S) ) em cada caso, justificando se S é base de \operatorname{ger}(S) :
S=\{(1,1,0,0),(1,0,1,0),(-1,0,0,1)\}

Passo 1

O enunciado dá
S=\{v_1,v_2,v_3\}\subset\mathbb{R}^4 \quad\text{com}\quad v_1=(1,1,0,0),\;v_2=(1,0,1,0),\;v_3=(-1,0,0,1),
e pede o subespaço gerado por S, isto é \ger(S), e se S é base de \ger(S). Vamos usar definição de combinação linear para achar \ger(S) e depois verificar independência linear.

Passo 2

Qualquer vetor de \ger(S) é combinação
\alpha\,v_1+\beta\,v_2+\gamma\,v_3 =(\alpha+\beta-\gamma,\;\alpha,\;\beta,\;\gamma).
Chamando esse vetor de (x_1,x_2,x_3,x_4), obtemos as igualdades
x_2=\alpha,\quad x_3=\beta,\quad x_4=\gamma, \quad x_1=\alpha+\beta-\gamma.
Logo
\ger(S) =\bigl\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4: x_1=x_2+x_3-x_4\bigr\}.

Passo 3

Para testar independência, impomos
\alpha\,v_1+\beta\,v_2+\gamma\,v_3=(0,0,0,0),
isto é
(\alpha+\beta-\gamma,\;\alpha,\;\beta,\;\gamma)=(0,0,0,0).
Isso dá o sistema
\alpha=0,\quad \beta=0,\quad \gamma=0,
única solução trivial. Portanto v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes.

Passo 4

Como S gera o subespaço descrito em

Resposta

\ger(S) =\bigl\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4: x_1=x_2+x_3-x_4\bigr\},
e S é base de \ger(S).

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