Determine [S] (ou \operatorname{ger}(S) ) em cada caso, justificando se S é base de \operatorname{ger}(S) :
S=\{(1,1,0),(-1,0,1),(-1,0,0)\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
\displaystyle S=\{(1,1,0),\,(-1,0,1),\,(-1,0,0)\}\subset\mathbb{R}^3
e pede para encontrar \operatorname{ger}(S) (o span de S) e verificar se S é base de \operatorname{ger}(S). Vamos usar definição de combinação linear, resolver o sistema para ver que toda (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 é gerada, e checar independência.

Passo 2

Seja (x,y,z)\in\operatorname{ger}(S). Então existem \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} tais que
\alpha\,(1,1,0)+\beta\,(-1,0,1)+\gamma\,(-1,0,0)=(x,y,z).
Componentes:
\begin{cases} \alpha - \beta - \gamma = x,\\\ \alpha = y,\\\ \beta = z. \end{cases}

Passo 3

Das duas últimas igualdades segue
\alpha=y, \quad \beta=z,
e então da primeira
\gamma = \alpha - \beta - x = y - z - x.
Como, para qualquer (x,y,z)\in\mathbb{R}^3, encontramos \alpha,\beta,\gamma, concluímos
\operatorname{ger}(S)=\mathbb{R}^3.

Passo 4

Além de gerar todo \mathbb{R}^3, a solução para \alpha,\beta,\gamma é única, o que mostra que S é linearmente independente. Como \#S=3 e \dim\bigl(\operatorname{ger}(S)\bigr)=3, S é de fato uma base de \operatorname{ger}(S).

Resposta

\operatorname{ger}(S)=\mathbb{R}^3, e S é base de \operatorname{ger}(S).

Exercícios relacionados