Determine:
\operatorname{Im} \frac{2+i}{3+4 i}

Passo 1

O enunciado pede a parte imaginária de
\displaystyle \frac{2+i}{3+4i}.
O conteúdo aqui é divisão de números complexos: para isso usamos a multiplicação pelo conjugado do denominador para obter um resultado na forma a+bi, e daí extraímos a parte imaginária.

Passo 2

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de 3+4i, que é 3-4i:
(2+i)(3-4i)=6-8i+3i-4i^2=6-5i+4=10-5i,
(3+4i)(3-4i)=9+16=25.
Logo
\frac{2+i}{3+4i} =\frac{10-5i}{25} =\frac{10}{25}-\frac{5}{25}\,i =\frac{2}{5}-\frac{1}{5}\,i.

Passo 3

Da forma padrão \displaystyle a+bi, a parte imaginária é o coeficiente de i. Aqui temos
\frac{2}{5}-\frac{1}{5}\,i,
então a parte imaginária é -\tfrac{1}{5}.

Resposta

-\tfrac{1}{5}

Exercícios relacionados