Determine o valor de e^{z} quando z vale:
\frac{\pi i}{4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle e^{z} quando \displaystyle z = \frac{\pi i}{4}. O conteúdo principal aqui é a fórmula de Euler para exponenciação de números complexos, que expressa e^{i\theta} em termos de funções trigonométricas.

Passo 2

Pela fórmula de Euler, para todo real \theta vale
e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\,\sin(\theta).
Aqui temos \theta = \tfrac{\pi}{4}, pois z = i\,\theta.

Passo 3

Substituindo \theta = \tfrac{\pi}{4} em e^{i\theta}, obtemos
e^{\frac{\pi i}{4}} = \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) + i\,\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\,\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}\,(1 + i).

Resposta

e^{\frac{\pi i}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\,(1 + i).

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