Determine
\operatorname{Re}(z), \operatorname{Img}(z), \bar{z} e|z|), onde z=i^{126}+i^{116}+i^{31}-i^{180}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar \operatorname{Re}(z), \operatorname{Im}(z), \bar z e \lvert z\rvert para
z = i^{126} + i^{116} + i^{31} - i^{180}.
O conteúdo envolve potências de i e propriedades básicas de números complexos.

Passo 2

Lembramos que as potências de i têm período 4:
i^0 = 1,\quad i^1 = i,\quad i^2 = -1,\quad i^3 = -i,\quad i^4 = 1,
portanto
i^n = i^{n \bmod 4}.

Passo 3

Reduzimos cada expoente módulo 4 e avaliamos:
126 \bmod 4 = 2 \implies i^{126} = i^2 = -1,
116 \bmod 4 = 0 \implies i^{116} = i^0 = 1,
31 \bmod 4 = 3 \implies i^{31} = i^3 = -i,
180 \bmod 4 = 0 \implies i^{180} = i^0 = 1.

Passo 4

Substituindo esses valores em z, temos
z = -1 + 1 + (-i) - 1 = -1 - i.

Passo 5

Da forma z = -1 - i extraímos:
\operatorname{Re}(z) = -1, \quad \operatorname{Im}(z) = -1.
A conjugada é
\bar z = -1 + i,
e o módulo é
\lvert z\rvert = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}.

Resposta

\operatorname{Re}(z) = -1 \operatorname{Im}(z) = -1 \bar z = -1 + i \lvert z\rvert = \sqrt{2}

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