Determine \operatorname{Re}(z), \operatorname{Img}(z), \bar{z} e|z|, onde
z=\frac{(1+i)^{80}+(1+i)^{82}}{i^{96} \cdot 2^{40}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as partes real e imaginária de
z=\frac{(1+i)^{80}+(1+i)^{82}}{i^{96}\cdot2^{40}}
além do conjugado \bar z e do módulo \lvert z\rvert.
O que vamos usar: fatoração no numerador, representação polar de 1+i (fórmula de De Moivre) e período de i^n.

Passo 2

No numerador, fatoramos (1+i)^{80}:
(1+i)^{80}+(1+i)^{82} =(1+i)^{80}\bigl[1+(1+i)^2\bigr].
Como
(1+i)^2=1+2i+i^2=2i,
fica
(1+i)^{80}+(1+i)^{82} =(1+i)^{80}(1+2i).

Passo 3

Agora usamos a forma polar de 1+i:
1+i = \sqrt2\,e^{i\pi/4},
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(1+i)^{80}=(\sqrt2)^{80}e^{i\,80\,\pi/4} =2^{40}e^{i\,20\pi} =2^{40}\cdot1 =2^{40}.
Assim o numerador vira 2^{40}(1+2i).

Passo 4

O denominador é
i^{96}\cdot2^{40} =(i^4)^{24}\cdot2^{40} =1^{24}\cdot2^{40} =2^{40}.
Cancelando 2^{40} em cima e embaixo, obtemos
z=\frac{2^{40}(1+2i)}{2^{40}}=1+2i.

Passo 5

Finalmente:
\operatorname{Re}(z)=1, \quad \operatorname{Img}(z)=2, \quad \bar z=1-2i, \quad \lvert z\rvert=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5.

Resposta

\operatorname{Re}(z)=1 \operatorname{Img}(z)=2 \bar z=1-2i \lvert z\rvert=\sqrt5

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