Questão 0.1. Escreva o número complexo z=i+i^{2}+i^{3}+\cdots+i^{1001} na forma algébrica.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma dos poderes de i:
z = i + i^{2} + i^{3} + \cdots + i^{1001}.
O conteúdo envolve números complexos e, em particular, a periodicidade das potências de i.

Passo 2

Lembramos que as potências de i se repetem a cada 4 expoentes, pois
i^{1} = i,\quad i^{2} = -1,\quad i^{3} = -i,\quad i^{4} = 1,
e então i^{n+4} = i^{n} para todo n.

Passo 3

Note que a soma de um ciclo completo de 4 potências é
i + i^{2} + i^{3} + i^{4} = i - 1 - i + 1 = 0.
Podemos agrupar os primeiros 1000 termos em 250 ciclos de 4 termos.

Passo 4

Escrevendo 1001 = 4\cdot250 + 1, temos
z = \underbrace{(i + i^{2} + i^{3} + i^{4}) + \cdots + (i^{997} + i^{998} + i^{999} + i^{1000})}_{250\text{ ciclos}} \;+\; i^{1001}.
Como cada ciclo soma zero, sobra apenas
z = i^{1001}.
E
i^{1001} = i^{4\cdot250 + 1} = (i^{4})^{250}\,i^{1} = 1^{250}\,i = i.

Resposta

i

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