Questão 0.6. Sejam z=2-5 i e w=a+ bi números complexos. Sabendo que \operatorname{Re}(z \cdot w)=0 e \operatorname{Img}(z+w)=0, calcule b^{2}-2 a.

Passo 1

O enunciado dá os números complexos \;z=2-5\,i\; e \;w=a+b\,i\; e pede para usar as condições
\Re(z\cdot w)=0 \quad\text{e}\quad \Im(z+w)=0
para encontrar a expressão b^2-2a. Vamos precisar lembrar como somar e multiplicar complexos e como extrair suas partes real e imaginária.

Passo 2

Usamos \Im(z+w)=0. Primeiro escrevemos
z+w=(2-5\,i)+(a+b\,i)=(2+a)+(-5+b)\,i.
A parte imaginária é -5+b, então
-5+b=0 \quad\Longrightarrow\quad b=5.

Passo 3

Usamos \Re(z\cdot w)=0. Calculamos
z\cdot w=(2-5\,i)(a+b\,i) =2a+2b\,i-5a\,i-5b\,i^2 =(2a+5b)+(2b-5a)\,i.
A parte real é 2a+5b, logo
2a+5b=0.
Substituindo b=5 obtemos
2a+25=0 \quad\Longrightarrow\quad a=-\frac{25}{2}.

Passo 4

Agora calculamos a expressão pedida:
b^2-2a =5^2-2\Bigl(-\tfrac{25}{2}\Bigr) =25+25 =50.

Resposta

50

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