Seja
um grupo e
. Seja
tal que
. Mostre que
é um homomorfismo. Diga qual é a imagem e o núcleo de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um grupo
e um elemento
dentro desse grupo. A função
é definida por
. Nosso objetivo é mostrar que
é um homomorfismo, ou seja, que ela preserva a operação do grupo. Além disso, precisamos identificar a imagem e o núcleo dessa função. Para isso, vamos precisar lembrar dos conceitos de homomorfismo de grupos, imagem e núcleo.
Passo 2
Vamos começar verificando se
é um homomorfismo. Por definição, um homomorfismo de grupos satisfaz a propriedade:
onde a operação em
é a adição e em
é a operação do grupo.
Passo 3
Vamos calcular
:
Agora, usando propriedades das potências, sabemos que:
Portanto:
Isso mostra que
satisfaz a propriedade de homomorfismo.
Passo 4
Agora, vamos identificar a imagem de
. A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. Neste caso, como
, a imagem de
é o conjunto de todas as potências de
, ou seja:
Isso é conhecido como o subgrupo cíclico gerado por
em
.
Passo 5
Por fim, vamos determinar o núcleo de
. O núcleo de um homomorfismo é o conjunto de todos os elementos do domínio que são mapeados para o elemento neutro do grupo. No nosso caso, o elemento neutro de
é geralmente denotado por
. Portanto:
Isso significa que o núcleo consiste em todos os inteiros
tais que
é o elemento neutro de
.
Resposta
A função
é um homomorfismo de grupos. A imagem de
é o subgrupo cíclico gerado por
em
, isto é,
. O núcleo de
é o conjunto dos inteiros
para os quais
é o elemento neutro de
, ou seja,
.