Seja G um grupo e a in G. Seja varphi: Z G tal que varphi(n)=a^n. Mostre que varphi é um homomorfismo. Diga qual é a imagem e o núcleo de varphi.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um grupo G e um elemento a dentro desse grupo. A função varphi: Z G é definida por varphi(n) = a^n . Nosso objetivo é mostrar que varphi é um homomorfismo, ou seja, que ela preserva a operação do grupo. Além disso, precisamos identificar a imagem e o núcleo dessa função. Para isso, vamos precisar lembrar dos conceitos de homomorfismo de grupos, imagem e núcleo.

Passo 2

Vamos começar verificando se varphi é um homomorfismo. Por definição, um homomorfismo de grupos satisfaz a propriedade:
varphi(n + m) = varphi(n) cdot varphi(m)
onde a operação em Z é a adição e em G é a operação do grupo.

Passo 3

Vamos calcular varphi(n + m) :
varphi(n + m) = a^n + m
Agora, usando propriedades das potências, sabemos que:
a^n + m = a^n cdot a^m
Portanto:
varphi(n + m) = a^n cdot a^m = varphi(n) cdot varphi(m)
Isso mostra que varphi satisfaz a propriedade de homomorfismo.

Passo 4

Agora, vamos identificar a imagem de varphi . A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. Neste caso, como varphi(n) = a^n , a imagem de varphi é o conjunto de todas as potências de a , ou seja:
Im(varphi) = a^n mid n in Z
Isso é conhecido como o subgrupo cíclico gerado por a em G .

Passo 5

Por fim, vamos determinar o núcleo de varphi . O núcleo de um homomorfismo é o conjunto de todos os elementos do domínio que são mapeados para o elemento neutro do grupo. No nosso caso, o elemento neutro de G é geralmente denotado por e . Portanto:
Ker(varphi) = n in Z mid varphi(n) = e = n in Z mid a^n = e
Isso significa que o núcleo consiste em todos os inteiros n tais que a^n é o elemento neutro de G .

Resposta

A função varphi é um homomorfismo de grupos. A imagem de varphi é o subgrupo cíclico gerado por a em G , isto é, Im(varphi) = a^n mid n in Z . O núcleo de varphi é o conjunto dos inteiros n para os quais a^n é o elemento neutro de G , ou seja, Ker(varphi) = n in Z mid a^n = e .

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