Determine a ordem das EDOs a seguir. Verifique que a função dada é uma solução ( a, b, c são constantes arbitrárias).
y'' + pi^2 y = 0, y = a cos(pi x) + b sen(pi x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a ordem da Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada e verificar se a função fornecida é uma solução. A matéria que vamos usar é sobre EDOs de ordem, e vamos precisar entender o que significa a ordem de uma EDO e como verificar se uma função é solução dela.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a ordem da EDO. A ordem de uma EDO é o maior grau da derivada presente na equação. Olhando para , vemos que a derivada mais alta é , que é a segunda derivada de y. Portanto, a ordem da EDO é 2.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função é uma solução dessa EDO. Para isso, precisamos calcular a primeira e a segunda derivadas de y.
A primeira derivada de y é:
A segunda derivada de y é:

Passo 4

Vamos substituir y e na EDO :
Simplificando:
Isso confirma que quando substituímos y na EDO, a equação se iguala a zero, validando que a função é uma solução.

Resposta

A EDO é de segunda ordem e a função é uma solução válida da equação .

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