Determine a ordem da equação diferencial e diga se ela é linear ou não.
y^(4)(x)+x^3 y^prime(x)+y(x)=ln (x)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y^(4)(x) + x^3,y'(x) + y(x) = ln(x)
e pede para determinar a ordem da equação e verificar se ela é linear.

Passo 2

A ordem de uma equação diferencial é o maior índice de derivada que aparece. Aqui o maior índice é 4, pois surge y^(4)(x).
Portanto, trata-se de uma equação diferencial de ordem 4.

Passo 3

Uma equação diferencial é linear quando a função incógnita e suas derivadas aparecem apenas em grau 1 (sem produtos entre elas e sem funções não lineares de y ou de suas derivadas). Na equação
y^(4)(x) + x^3,y'(x) + y(x) = ln(x)
cada termo envolvente y ou suas derivadas está multiplicado por uma função de x (no caso, 1 ou x^3), e não há produto entre derivadas nem termos como (y')^2 ou sin(y). O lado direito ln(x) não depende de y.
Logo, a equação é linear (não há termos não lineares em y ou em suas derivadas).

Resposta

Ordem 4; é linear (não homogênea).

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