Determine os valores para os quais a função
f(x)= x^2+1, & se x <= 0 cos (x), & se 0<x<1 x^2+1, & se x >= 1
Bom desempenho!!

Passo 1

O enunciado nos dá a função por partes
e pede para achar onde ela é contínua. Sabemos que polinômios e são contínuos em todo , então os únicos pontos que podem falhar são as fronteiras e .

Passo 2

Em cada intervalo aberto a função herda a continuidade dos seus “pedaços”:
– Para x<0, f(x)=x^2+1 é contínua.
– Para 0<x<1, f(x)=cos(x) é contínua.
– Para x>1, f(x)=x^2+1 é contínua.

Passo 3

Verificamos a continuidade em x=0 calculando os limites laterais e o valor f(0):
limxto0^-f(x)=limxto0^-(x^2+1)=1,
limxto0^+f(x)=limxto0^+cos(x)=cos(0)=1,
e
f(0)=0^2+1=1
Como todos são iguais, f é contínua em x=0.

Passo 4

Agora em x=1:
limxto1^-f(x)=limxto1^-cos(x)=cos(1)approx0,54,
limxto1^+f(x)=limxto1^+(x^2+1)=2,
e
f(1)=1^2+1=2
Como cos(1)neq2, há descontinuidade em x=1.

Resposta

A função f é contínua para todo xinR exceto em x=1.

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