determine a ordem da equação diferencial e diga se ela é linear ou não linear. Derivadas parciais são denotadas por indices.
u yxxxx +2 u xxayy +uy y g y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação parcial
uyxxxx+2,uxxayy+uyygy=0
e pede dois itens de classificação: a ordem da equação e se ela é linear ou não. Para isso, precisamos entender a notação de derivada parcial por índices e depois verificar como u e suas derivadas aparecem na equação.

Passo 2

Vamos interpretar cada termo e contar quantas derivadas ele contém no total.
  • Em uyxxxx temos uma derivada em y e quatro derivadas em x. Isso é uma derivada de ordem
1 + 4 = 5
  • Em uxxayy temos duas derivadas em x, uma em a e duas em y. Isso totaliza
2 + 1 + 2 = 5
  • Em uyygy temos duas derivadas em y, uma em g e mais uma em y. Isso totaliza
2 + 1 + 1 = 4

Passo 3

A ordem da equação diferencial parcial é o maior número de derivadas de um único termo. Vimos que os dois primeiros termos são de ordem 5 e o último é de ordem 4. Logo, a ordem da equação é
5

Passo 4

Para decidir se a equação é linear, observamos se aparece algum produto ou potência de u ou de suas derivadas. Aqui cada termo é simplesmente um múltiplo constante de uma derivada de u (ou soma desses termos), sem produtos nem funções não lineares de u. Portanto, trata-se de uma equação linear.

Resposta

A equação é de ordem 5 e é linear.

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