determine a ordem da equação diferencial e diga se ela é linear ou não linear. Derivadas parciais são denotadas por indices.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar a ordem da equação diferencial dada e dizer se ela é linear ou não linear. A equação que temos é:
Vamos usar conceitos de equações diferenciais parciais e analisar as derivadas presentes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as derivadas na equação. Temos:
-
: derivada primeira em relação ao tempo . -
: derivada primeira em relação ao espaço . -
: derivada segunda em relação ao espaço .
A ordem da equação diferencial é a maior ordem das derivadas presentes. Aqui, a derivada de maior ordem é
, que é segunda ordem.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é linear ou não linear. Uma equação diferencial é linear se pode ser escrita na forma:
onde os coeficientes
só dependem de
e
e não de
ou suas derivadas. Além disso,
e suas derivadas não podem estar multiplicados entre si ou elevados a alguma potência.
Na nossa equação:
Podemos rearranjar para:
Aqui,
é uma constante (assumindo que não depende de
ou suas derivadas). Não há termos onde
ou suas derivadas estão multiplicados ou elevados a potências. Portanto, a equação é linear.
Resposta
A equação diferencial é de segunda ordem e linear.