Determine a ordem e a linearidade de cada equação abaixo.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a equação diferencial
:
- Determinar a ordem da equação.
- Determinar a linearidade da equação (se é linear ou não; e se linear, se é homogênea e que tipo de coeficientes tem).
Informações dadas:
- A equação envolve as derivadas
e . - A variável independente aparece como
. - A função incógnita é
.
Passo 2
Definição de ordem: a ordem de uma equação diferencial é o maior índice de derivada de
que aparece na equação.
Na equação aparecem as derivadas
(primeira ordem) e
(segunda ordem). O maior índice é
, portanto a ordem é
.
Passo 3
Definição de linearidade (passo-a-passo e didático):
- Uma equação diferencial de ordem
é dita linear se pode ser escrita na forma
onde cada
e
são funções que dependem somente da variável independente
(ou constantes).
- “Linear” significa que
e suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por coeficientes (funções de ) e somadas; não podem aparecer termos como , , , etc. Esses últimos são exemplos de não linearidade. - Se
, a equação é chamada homogênea; se , é não homogênea. - Se os coeficientes
são constantes, chama-se equação com coeficientes constantes; se dependem de , tem coeficientes variáveis (não constantes).
Passo 4
Colocar a equação na forma padrão de uma linear:
Daí identificam-se os coeficientes:
- Cada
depende apenas de (não dependem de nem de suas derivadas), logo a forma é exatamente a da definição de equação linear. - Como
, a equação é homogênea. - Como
não é constante (depende de ), os coeficientes não são constantes — são coeficientes dependentes de .
Passo 5
Exemplo de contraste para fixar a ideia: a equação
não é linear porque aparece o termo
, que é uma função não linear de
. No nosso caso, não há potências ou produtos entre
e suas derivadas: todos os termos com
aparecem de forma linear.
Passo 6
Conclusão resumida e encorajamento: então a equação tem ordem
e é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes dependentes de
(ou seja, coeficientes não constantes). Boa! Isso é tudo que se pede — agora dá para identificar rapidamente esse tipo de equação na prova.
Resposta
Ordem:
Linearidade: linear homogênea com coeficientes dependentes de (coeficientes não constantes)
Linearidade: linear homogênea com coeficientes dependentes de