Determine a ordem e a linearidade de cada equação abaixo.
y^{\prime \prime}+x y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a equação diferencial
y^{\prime\prime} + x\,y^{\prime} = 0:
  • Determinar a ordem da equação.
  • Determinar a linearidade da equação (se é linear ou não; e se linear, se é homogênea e que tipo de coeficientes tem).
Informações dadas:
  • A equação envolve as derivadas y^{\prime} e y^{\prime\prime}.
  • A variável independente aparece como x.
  • A função incógnita é y(x).

Passo 2

Definição de ordem: a ordem de uma equação diferencial é o maior índice de derivada de y que aparece na equação.
Na equação aparecem as derivadas y^{\prime} (primeira ordem) e y^{\prime\prime} (segunda ordem). O maior índice é 2, portanto a ordem é 2.

Passo 3

Definição de linearidade (passo-a-passo e didático):
  • Uma equação diferencial de ordem n é dita linear se pode ser escrita na forma
a_n(x)\,y^{(n)} + a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)} + \cdots + a_1(x)\,y^{\prime} + a_0(x)\,y = g(x),
onde cada a_i(x) e g(x) são funções que dependem somente da variável independente x (ou constantes).
  • “Linear” significa que y e suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por coeficientes (funções de x) e somadas; não podem aparecer termos como (y')^2, \sin(y), y\,y', etc. Esses últimos são exemplos de não linearidade.
  • Se g(x)=0, a equação é chamada homogênea; se g(x)\neq0, é não homogênea.
  • Se os coeficientes a_i(x) são constantes, chama-se equação com coeficientes constantes; se dependem de x, tem coeficientes variáveis (não constantes).

Passo 4

Colocar a equação na forma padrão de uma linear:
1\cdot y^{\prime\prime} + x\cdot y^{\prime} + 0\cdot y = 0.
Daí identificam-se os coeficientes:
a_2(x)=1,\qquad a_1(x)=x,\qquad a_0(x)=0,\qquad g(x)=0.
  • Cada a_i(x) depende apenas de x (não dependem de y nem de suas derivadas), logo a forma é exatamente a da definição de equação linear.
  • Como g(x)=0, a equação é homogênea.
  • Como a_1(x)=x não é constante (depende de x), os coeficientes não são constantes — são coeficientes dependentes de x.

Passo 5

Exemplo de contraste para fixar a ideia: a equação
y^{\prime\prime} + \bigl(y^{\prime}\bigr)^2 = 0
não é linear porque aparece o termo \bigl(y^{\prime}\bigr)^2, que é uma função não linear de y^{\prime}. No nosso caso, não há potências ou produtos entre y e suas derivadas: todos os termos com y aparecem de forma linear.

Passo 6

Conclusão resumida e encorajamento: então a equação tem ordem 2 e é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes dependentes de x (ou seja, coeficientes não constantes). Boa! Isso é tudo que se pede — agora dá para identificar rapidamente esse tipo de equação na prova.

Resposta

Ordem: 2
Linearidade: linear homogênea com coeficientes dependentes de x (coeficientes não constantes)

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