Encontre a ordem e determine qual das seguintes equações diferenciais são lineares e quais de elas são homogêneas?
\frac{u^{\prime}}{u}=1+t

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{u'}{u}=1+t
e pede duas coisas:
  • Determinar a ordem da equação.
  • Dizer se a equação é linear e se é homogênea.
Informações explícitas que temos:
  • A função incógnita é u, dependente da variável independente t.
  • Aparece a derivada primeira u' (derivada de u em relação a t).
  • A equação relaciona u' e u por meio de funções de t.

Passo 2

Identificar a ordem da equação.
O que significa “ordem”: a ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas da incógnita que aparece na equação. Aqui aparece apenas u' (a primeira derivada) e não aparecem derivadas de ordem superior.
Portanto a ordem é
\text{ordem} = 1.

Passo 3

Reescrever a equação num formato mais claro e verificar linearidade.
Multiplicando ambos os lados por u (assumindo u\neq0 localmente) obtemos a forma
u' = (1+t)\,u.
Colocando em forma padrão para linearidade,
u' - (1+t)\,u = 0.
O que é uma equação diferencial linear (primeira ordem)? Uma equação linear de primeira ordem tem a forma
u' + p(t)\,u = q(t),
onde p(t) e q(t) são funções conhecidas de t e a incógnita u e sua derivada aparecem apenas de forma linear (ou seja, sem produtos entre u e u', sem potências como u^2, nem funções não lineares de u).
Comparando com a nossa forma, podemos identificar
p(t) = -(1+t),\qquad q(t)=0.
Como u e u' aparecem apenas multiplicados por funções de t (sem termos como u^2 ou \sin(u)), a equação é linear.

Passo 4

Verificar se a equação é homogênea.
Definição prática: uma equação linear é dita homogênea quando o termo independente q(t) é igual a zero ao escrever-se na forma u' + p(t)u = q(t). Outra forma de pensar: numa equação linear homogênea, a soma de soluções multiplicadas por constantes também é solução (superposição).
Aqui encontramos q(t)=0. Logo a equação é linear homogênea.

Passo 5

(Explicação extra e solução rápida para fixar o conceito)
Uma forma didática de ver que é homogênea é resolver: a equação
\frac{u'}{u}=1+t
é separável. Reescrevendo,
\frac{u'}{u}=1+t \quad\Longrightarrow\quad \frac{u'}{u} = t+1.
Integrando ambos os lados em t:
\int \frac{u'}{u}\,dt = \int (t+1)\,dt.
O membro esquerdo é \int \frac{d u}{u}=\ln|u|. O direito dá \tfrac{t^{2}}{2}+t mais constante. Assim
\ln|u| = \frac{t^{2}}{2}+t + C.
Exponenciando,
u(t) = C_{1}\,e^{t + \tfrac{t^{2}}{2}},
onde C_{1}=\pm e^{C} é uma constante arbitrária. Essa forma u=C_{1}\cdot(\text{função de }t)çã é característica de equações lineares homogêneas de primeira ordem: a constante multiplicativa aparece livremente, confirmando a homogeneidade.

Resposta

Ordem: 1
Linear: Sim
Homogênea: Sim

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