Encontre a ordem e determine qual das seguintes equações diferenciais são lineares e quais de elas são homogêneas?
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede duas coisas:
- Determinar a ordem da equação.
- Dizer se a equação é linear e se é homogênea.
Informações explícitas que temos:
- A função incógnita é
, dependente da variável independente . - Aparece a derivada primeira
(derivada de em relação a ). - A equação relaciona
e por meio de funções de .
Passo 2
Identificar a ordem da equação.
O que significa “ordem”: a ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas da incógnita que aparece na equação. Aqui aparece apenas
(a primeira derivada) e não aparecem derivadas de ordem superior.
Portanto a ordem é
Passo 3
Reescrever a equação num formato mais claro e verificar linearidade.
Multiplicando ambos os lados por
(assumindo
localmente) obtemos a forma
Colocando em forma padrão para linearidade,
O que é uma equação diferencial linear (primeira ordem)? Uma equação linear de primeira ordem tem a forma
onde
e
são funções conhecidas de
e a incógnita
e sua derivada aparecem apenas de forma linear (ou seja, sem produtos entre
e
, sem potências como
, nem funções não lineares de
).
Comparando com a nossa forma, podemos identificar
Como
e
aparecem apenas multiplicados por funções de
(sem termos como
ou
), a equação é linear.
Passo 4
Verificar se a equação é homogênea.
Definição prática: uma equação linear é dita homogênea quando o termo independente
é igual a zero ao escrever-se na forma
. Outra forma de pensar: numa equação linear homogênea, a soma de soluções multiplicadas por constantes também é solução (superposição).
Aqui encontramos
. Logo a equação é linear homogênea.
Passo 5
(Explicação extra e solução rápida para fixar o conceito)
Uma forma didática de ver que é homogênea é resolver: a equação
é separável. Reescrevendo,
Integrando ambos os lados em
:
O membro esquerdo é
. O direito dá
mais constante. Assim
Exponenciando,
onde
é uma constante arbitrária. Essa forma
é característica de equações lineares homogêneas de primeira ordem: a constante multiplicativa aparece livremente, confirmando a homogeneidade.
Resposta
Ordem:
Linear: Sim
Homogênea: Sim
Linear: Sim
Homogênea: Sim