Determine:
\overline{11}^{-1} em \mathbb{Z}_{263}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o inverso de \overline{11} em \mathbb{Z}_{263}. Como 263 é primo, sabemos que \gcd(11,263)=1 e que o inverso existe. Vamos usar o algoritmo estendido de Euclides para encontrar inteiros x e y tais que
11x + 263y = 1,
de onde x será o inverso de \overline{11} em \mathbb{Z}_{263}.

Passo 2

Aplicando o algoritmo de Euclides para \gcd(263,11):
263 = 11 \cdot 23 + 10,
11 = 10 \cdot 1 + 1,
10 = 1 \cdot 10 + 0.

Passo 3

Fazendo a retro-substituição para expressar 1 como combinação de 11 e 263:
Da segunda linha vem
1 = 11 - 10\cdot1.
Da primeira linha vem
10 = 263 - 11\cdot23.
Substituindo na expressão de 1:
1 = 11 - \bigl(263 - 11\cdot23\bigr) = 11\cdot24 - 263.
Logo 11\cdot24\equiv1\pmod{263}.

Passo 4

O coeficiente de 11 na combinação acima é 24, portanto
\overline{11}^{-1} = \overline{24} \quad\text{em}\;\mathbb{Z}_{263}.

Resposta

\overline{11}^{-1} = \overline{24}.

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