Determine a ordem dos polos da função dada.
f(z)=sen zz^2-z

Passo 1

O enunciado pede para achar a ordem dos polos da função f(z)=dfracsin zz^2 - z. Isso envolve identificar as singularidades (zeros do denominador) e verificar se são polos e de que ordem, usando desenvolvimento de sin z perto dessas singularidades.

Passo 2

Primeiro achamos onde o denominador se anula: z^2 - z = z(z-1)=0 implica z=0 ou z=1. Esses são candidatos a singularidades.

Passo 3

Perto de z=0 temos o desenvolvimento de Taylor sin z = z - z^3/6 + cdots. Logo
f(z)=sin zz(z-1) = z(1 - z^2/6 + cdots)z(z-1) = 1 - z^2/6 + cdotsz-1,

Passo 4

Isso mostra que o fator z no numerador cancela o z do denominador, e em z=0 a função fica analítica. Portanto z=0 não é polo, mas sim singularidade removível.

Passo 5

Perto de z=1 o denominador se anula linearmente e sin1neq0. Assim temos um polo simples em z=1, pois não há cancelamento do zero do denominador.

Passo 6

Concluímos que há apenas um polo, em z=1, e ele é de ordem 1.

Resposta

O único polo da função é em z=1, de ordem 1.

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