Mostre que z=0 é uma singularidade removível de f(z)=e^2 z-1z. Forneça uma definição de f(0), de modo que f seja analítica em z=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que z=0 é uma singularidade removível de f(z)= e^2z-1z e definir f(0) de modo que f seja analítica em z=0 — aqui vamos usar expansão em série de Taylor e o conceito de limite.

Passo 2

Começamos pela série de Taylor de e^2z em torno de z=0:
e^2z = sumn=0^infty (2z)^nn! = 1 + 2z + (2z)^22! + (2z)^33! + cdots

Passo 3

Subtraindo 1 e dividindo por z, obtemos
f(z)=e^2z-1z = 1 + 2z + (2z)^22! + cdots -1z = sumn=1^infty (2z)^nn!cdot1z = sumn=1^infty 2^nn! z^n-1

Passo 4

Note que essa série não tem termo em z^-1. Ao reindexar com m=n-1, fica
f(z)=summ=0^infty 2^m+1(m+1)! z^m,
o que mostra que f é holomorfa em z=0, pois não há divergência.

Passo 5

O valor em z=0 é o coeficiente do termo z^0 nesta série, ou seja
f(0)=2^0+1(0+1)!=2
Com isso definimos f(0)=2 e garantimos que f é analítica em z=0.

Resposta

Definindo f(0)=2, a função estende-se analiticamente em z=0 e a singularidade é removível.

Exercícios relacionados