Mostre que
é uma singularidade removível de
. Forneça uma definição de
, de modo que
seja analítica em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que z=0 é uma singularidade removível de f(z)=
e definir f(0) de modo que f seja analítica em z=0 — aqui vamos usar expansão em série de Taylor e o conceito de limite.
Passo 2
Começamos pela série de Taylor de
em torno de z=0:
Passo 3
Subtraindo 1 e dividindo por z, obtemos
Passo 4
Note que essa série não tem termo em
. Ao reindexar com
, fica
o que mostra que f é holomorfa em z=0, pois não há divergência.
Passo 5
O valor em z=0 é o coeficiente do termo
nesta série, ou seja
Com isso definimos f(0)=2 e garantimos que f é analítica em z=0.
Resposta
Definindo f(0)=2, a função estende-se analiticamente em z=0 e a singularidade é removível.