a. Determine as ordens possíveis para os elementos de
.
b. Para cada ordem, dê exemplo de um elemento com esta ordem.
b. Para cada ordem, dê exemplo de um elemento com esta ordem.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todas as ordens possíveis dos elementos do grupo simétrico
e, para cada ordem, dar um exemplo de permutação com essa ordem. O conteúdo que vamos usar é decomposição de permutações em ciclos disjuntos e cálculo de ordem via mínimo múltiplo comum.
Passo 2
No grupo
, qualquer permutação se escreve como produto de ciclos disjuntos. A ordem de uma permutação é o menor
tal que ela elevada a
é a identidade, e isso coincide com o
(
) dos comprimentos de seus ciclos.
Passo 3
Listamos todas as formas de particionar 5 em comprimentos de ciclos possíveis e calculamos o l.c.m.:
• dá l.c.m.
• dá l.c.m.
• dá l.c.m.
• dá l.c.m.
• dá l.c.m.
• dá l.c.m.
• dá l.c.m.
•
•
•
•
•
•
•
Passo 4
Concluímos que as ordens distintas que aparecem são
Passo 5
Para cada ordem escolhemos um exemplo de permutação em notação cíclica: identidade para 1, uma transposição para 2, um 3-ciclo para 3, um 4-ciclo para 4, um 5-ciclo para 5 e um produto de um 3-ciclo por uma transposição disjunta para 6.
Resposta
As ordens possíveis em
são 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Exemplos:
Ordem 1: permutação identidade.
Ordem 2: .
Ordem 3: .
Ordem 4: .
Ordem 5: .
Ordem 6: .
Ordem 1: permutação identidade.
Ordem 2:
Ordem 3:
Ordem 4:
Ordem 5:
Ordem 6: