a. Determine as ordens possíveis para os elementos de S5.
b. Para cada ordem, dê exemplo de um elemento com esta ordem.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as ordens possíveis dos elementos do grupo simétrico S5 e, para cada ordem, dar um exemplo de permutação com essa ordem. O conteúdo que vamos usar é decomposição de permutações em ciclos disjuntos e cálculo de ordem via mínimo múltiplo comum.

Passo 2

No grupo S5, qualquer permutação se escreve como produto de ciclos disjuntos. A ordem de uma permutação é o menor k>0 tal que ela elevada a k é a identidade, e isso coincide com o mínimo múíú ( lcm) dos comprimentos de seus ciclos.

Passo 3

Listamos todas as formas de particionar 5 em comprimentos de ciclos possíveis e calculamos o l.c.m.:
1+1+1+1+1 dá l.c.m. =1
2+1+1+1 dá l.c.m. =2
2+2+1 dá l.c.m. =2
3+1+1 dá l.c.m. =3
4+1 dá l.c.m. =4
5 dá l.c.m. =5
3+2 dá l.c.m. =6

Passo 4

Concluímos que as ordens distintas que aparecem são
1,;2,;3,;4,;5,;6

Passo 5

Para cada ordem escolhemos um exemplo de permutação em notação cíclica: identidade para 1, uma transposição para 2, um 3-ciclo para 3, um 4-ciclo para 4, um 5-ciclo para 5 e um produto de um 3-ciclo por uma transposição disjunta para 6.

Resposta

As ordens possíveis em S5 são 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Exemplos:
Ordem 1: permutação identidade.
Ordem 2: (12).
Ordem 3: (123).
Ordem 4: (1234).
Ordem 5: (12345).
Ordem 6: (123)(45).

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