Mostre que exibindo um isomorfismo:
Se U e V são K-espaços vetoriais de dimensōes n e m, respectivamente, então Hom (U, V) simeq Mm times n(K).

Passo 1

Temos dois espaços vetoriais sobre \mathbb{K}, U de dimensão n e V de dimensão m. O objetivo é mostrar que o espaço Hom(U,V) (todas as aplicações lineares de U em V) é isomorfo a \mathit{M}_{m\times n}(\mathbb{K}), o espaço das matrizes m×n sobre \mathbb{K}. Vamos precisar usar definição de base, coordenadas e representação matricial de transformações lineares.

Passo 2

Escolhemos uma base ordenada de U e uma de V, digamos \displaystyle B = \{u_1, u_2, \dots, u_n\} em U e \displaystyle C = \{v_1, v_2, \dots, v_m\} em V. Por definição de base, qualquer vetor de U ou V é combinação única desses vetores.

Passo 3

Dada uma aplicação linear \displaystyle f\in \mathrm{Hom}(U,V), definimos sua matriz em relação às bases B e C. A j-ésima coluna de \displaystyle [f]{C,B} é o vetor coluna formado pelas coordenadas de \displaystyle f(u_j) em C. Ou seja, se \displaystyle f(u_j) = \sum{i=1}^m a_{ij},v_i, então
[f]C,B = (aij)i=1,dots,matop j=1,dots,n in Mmtimes n(K)

Passo 4

Definimos a aplicação
phi : Hom(U,V) longrightarrow Mmtimes n(K), f mapsto [f]C,B
Mostramos que \phi é linear:
- \phi(f + g) = [f+g]{C,B} = [f]{C,B} + [g]{C,B} = \phi(f) + \phi(g).
- \phi(\alpha f) = [\alpha f]
{C,B} = \alpha [f]_{C,B} = \alpha \phi(f).

Passo 5

Agora \phi é injetora porque \phi(f)=0 implica todas as coordenadas de \displaystyle f(u_j) serem zero, logo f é a aplicação nula. E é sobrejetora porque, dado qualquer A = (a_{ij}) em M_{m×n}(\mathbb{K}), podemos definir f_A em U por
fAl(ujr) = sumi=1^m aij,vi,
e estender linearmente. Então \phi(f_A) = A. Assim \phi é bijetora.

Passo 6

Como \phi é linear e bijetora, ela é um isomorfismo de espaços vetoriais, mostrando \mathrm{Hom}(U,V) \simeq M_{m\times n}(\mathbb{K}).

Resposta

O isomorfismo é dado por \displaystyle f \mapsto [f]{C,B}, que estabelece \mathrm{Hom}(U,V) \simeq M{m\times n}(\mathbb{K}).

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