Seja
a função dada por
onde
B é a base
T e
u in R2[x] é a base
T(u)=u .
a Verifique que
é uma transformação linear.
b Existe um vetor
não nulo tal que
? Justifique sua resposta.
a Verifique que
b Existe um vetor
Passo 1
Resumo do problema: temos a transformação linear dada em coordenadas pela regra
onde
B=1,,x+x^2,,1+x^2 e
e=1,x,x^2 . Precisamos mostrar que
T é linear (isto é, preserva soma e escalares) e investigar se existe vetor não-nulo
u tal que
T(u)=u .
Passo 2
Verificação de linearidade: seja
$$u=(a,b,c){B},\quad v=(d,e,f){B},\quad \alpha,\beta\in\mathbb{R}.
T\bigl[\alpha u + \beta v\bigr]
= T\bigl[(\alpha a+\beta d,;\alpha b+\beta e,;\alpha c+\beta f){B}\bigr]
= (2(\alpha c+\beta f)-2(\alpha b+\beta e),😭\alpha a+\beta d)+(\alpha c+\beta f),\
(\alpha a+\beta d)+(\alpha b+\beta e)+(\alpha c+\beta f)){e}.
= T\bigl[(\alpha a+\beta d,;\alpha b+\beta e,;\alpha c+\beta f){B}\bigr]
= (2(\alpha c+\beta f)-2(\alpha b+\beta e),😭\alpha a+\beta d)+(\alpha c+\beta f),\
(\alpha a+\beta d)+(\alpha b+\beta e)+(\alpha c+\beta f)){e}.
\alpha(2c-2b,;a+c,;a+b+c){e}+\beta(2f-2e,;d+f,;d+e+f){e}
= \alpha T(u) + \beta T(v),
= \alpha T(u) + \beta T(v),
$$
logo alpha(2c-2b,;a+c,;a+b+c)e+beta(2f-2e,;d+f,;d+e+f)e = alpha T(u) + beta T(v), é linear.
logo
Passo 3
Coordenadas canônicas de
u : dado
$$u=(a,b,c)_{B},
u(x)=a\cdot1 + b(x+x2)+c(1+x2) = (a+c) + bx + (b+c)x^2.
u = (a+c,;b,;b+c)_{e}.
$$
Passo 4
Equação
T(u)=u : em coordenadas canônicas temos
logo impondo
obtemos o sistema
Da terceira equação vem
a=0 . Substituindo em
a+c=b dá
b=c . Então a primeira fica
$$2c -2c = 0 = 0 + c \implies c=0 \implies b=0.
$$
Logo a única solução é2c -2c = 0 = 0 + c implies c=0 implies b=0 , ou seja,
a=b=c=0 .
Logo a única solução é
Resposta
a) A transformação
T é linear. b) Não existe vetor não-nulo
u tal que
T(u)=u ; o único vetor fixo é o vetor zero.