Seja T: R2[x] R2[x] a função dada por C onde B é a base T e u in R2[x] é a base T(u)=u.
a Verifique que é uma transformação linear.
b Existe um vetor não nulo tal que ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Resumo do problema: temos a transformação linear dada em coordenadas pela regra
Tl[(a,b,c)Br] = (2c - 2b,;a+c,;a+b+c)e,
onde B=1,,x+x^2,,1+x^2 e e=1,x,x^2. Precisamos mostrar que T é linear (isto é, preserva soma e escalares) e investigar se existe vetor não-nulo u tal que T(u)=u.

Passo 2

Verificação de linearidade: seja
$$u=(a,b,c){B},\quad v=(d,e,f){B},\quad \alpha,\beta\in\mathbb{R}.
u=(a,b,c)B, v=(d,e,f)B, alpha,betainR ã
T\bigl[\alpha u + \beta v\bigr]
= T\bigl[(\alpha a+\beta d,;\alpha b+\beta e,;\alpha c+\beta f){B}\bigr]
= (2(\alpha c+\beta f)-2(\alpha b+\beta e),😭\alpha a+\beta d)+(\alpha c+\beta f),\
(\alpha a+\beta d)+(\alpha b+\beta e)+(\alpha c+\beta f))
{e}.
Tl[alpha u + beta vr] = Tl[(alpha a+beta d,;alpha b+beta e,;alpha c+beta f)Br] = (2(alpha c+beta f)-2(alpha b+beta e),;(alpha a+beta d)+(alpha c+beta f), (alpha a+beta d)+(alpha b+beta e)+(alpha c+beta f))e é
\alpha(2c-2b,;a+c,;a+b+c){e}+\beta(2f-2e,;d+f,;d+e+f){e}
= \alpha T(u) + \beta T(v),
$$
logo alpha(2c-2b,;a+c,;a+b+c)e+beta(2f-2e,;d+f,;d+e+f)e = alpha T(u) + beta T(v), é linear.

Passo 3

Coordenadas canônicas de u: dado
$$u=(a,b,c)_{B},
u=(a,b,c)B, ôé
u(x)=a\cdot1 + b(x+x2)+c(1+x2) = (a+c) + bx + (b+c)x^2.
u(x)=acdot1 + b(x+x^2)+c(1+x^2) = (a+c) + bx + (b+c)x^2
u = (a+c,;b,;b+c)_{e}.
$$

Passo 4

Equação T(u)=u: em coordenadas canônicas temos
T(u)=(2c-2b,;a+c,;a+b+c)e,
logo impondo
(2c-2b,;a+c,;a+b+c) = (a+c,;b,;b+c)
obtemos o sistema
2c - 2b = a + c, a + c = b, a + b + c = b + c
Da terceira equação vem a=0. Substituindo em a+c=b b=c. Então a primeira fica
$$2c -2c = 0 = 0 + c \implies c=0 \implies b=0.
$$
Logo a única solução é 2c -2c = 0 = 0 + c implies c=0 implies b=0 , ou seja, a=b=c=0.

Resposta

a) A transformação T é linear. b) Não existe vetor não-nulo u tal que T(u)=u; o único vetor fixo é o vetor zero.

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