Seja H=(1),(1,2,3,4),(1,3)(2,4),(4,3,2,1) subset S4.
a) Construa a tabela de multiplicação de H.
b) H é um subgrupo de S4 ?
c) H é um subgrupo de A4 ?

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar com o subconjunto
H = { (1), (1 2 3 4), (1 3)(2 4), (4 3 2 1) } de S₄. Vamos: (1) montar a tabela de multiplicação em H; (2) verificar se H é subgrupo de S₄; (3) verificar se H está contido em A₄.
O conteúdo principal aqui é teoria de grupos finitos: saber reconhecer que H é justamente o subgrupo cíclico de S₄ gerado pela 4-ciclo g = (1 2 3 4). Precisamos usar a propriedade gᵏ·gˡ = gᵏ⁺ˡ (mod 4), conferir fechamento, elemento neutro e inversos, e também checar o sinal (paridade) das permutações.

Passo 2

Para montar a tabela, seja g = (1 2 3 4) e logo g² = (1 3)(2 4), g³ = (4 3 2 1) e g⁰ = (1). Então cada produto gⁱ·gʲ = gⁱ⁺ʲ (com expoente módulo 4).
Aplicando isso, obtemos a tabela de multiplicação em H:

Passo 3

Para verificar subgrupo de S₄, lembramos o critério: um subconjunto não vazio de um grupo forma subgrupo se for fechado e contiver inversos. Em H já aparece o neutro (1), é fechado (pela tabela) e cada elemento tem seu inverso (g⁻¹ = g³ etc.). Logo H ≤ S₄.

Passo 4

Para ver se H ≤ A₄, basta checar se todas as permutações de H são pares. Uma 4-ciclo tem decomposição em 3 transposições, logo é permutação ímpar. Como (1 2 3 4) ∉ A₄, concluímos que H não está contido em A₄.

Resposta

a) Tabela de multiplicação em H:
c|cccc circ & (1) & (1,2,3,4) & (1,3)(2,4) & (4,3,2,1) hline (1) & (1) & (1,2,3,4) & (1,3)(2,4) & (4,3,2,1) (1,2,3,4) & (1,2,3,4) & (1,3)(2,4) & (4,3,2,1) & (1) (1,3)(2,4) & (1,3)(2,4) & (4,3,2,1) & (1) & (1,2,3,4) (4,3,2,1) & (4,3,2,1) & (1) & (1,2,3,4) & (1,3)(2,4)
b) Sim. H é subgrupo de S₄.
c) Não. H não está contido em A₄, pois (1 2 3 4) é de paridade ímpar.

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