Seja
.
a) Construa a tabela de multiplicação de
.
b)
é um subgrupo de
?
c)
é um subgrupo de
?
a) Construa a tabela de multiplicação de
b)
c)
Passo 1
O enunciado pede para trabalhar com o subconjunto
H = { (1), (1 2 3 4), (1 3)(2 4), (4 3 2 1) } de S₄. Vamos: (1) montar a tabela de multiplicação em H; (2) verificar se H é subgrupo de S₄; (3) verificar se H está contido em A₄.
O conteúdo principal aqui é teoria de grupos finitos: saber reconhecer que H é justamente o subgrupo cíclico de S₄ gerado pela 4-ciclo g = (1 2 3 4). Precisamos usar a propriedade gᵏ·gˡ = gᵏ⁺ˡ (mod 4), conferir fechamento, elemento neutro e inversos, e também checar o sinal (paridade) das permutações.
H = { (1), (1 2 3 4), (1 3)(2 4), (4 3 2 1) } de S₄. Vamos: (1) montar a tabela de multiplicação em H; (2) verificar se H é subgrupo de S₄; (3) verificar se H está contido em A₄.
O conteúdo principal aqui é teoria de grupos finitos: saber reconhecer que H é justamente o subgrupo cíclico de S₄ gerado pela 4-ciclo g = (1 2 3 4). Precisamos usar a propriedade gᵏ·gˡ = gᵏ⁺ˡ (mod 4), conferir fechamento, elemento neutro e inversos, e também checar o sinal (paridade) das permutações.
Passo 2
Para montar a tabela, seja g = (1 2 3 4) e logo g² = (1 3)(2 4), g³ = (4 3 2 1) e g⁰ = (1). Então cada produto gⁱ·gʲ = gⁱ⁺ʲ (com expoente módulo 4).
Aplicando isso, obtemos a tabela de multiplicação em H:
Aplicando isso, obtemos a tabela de multiplicação em H:
Passo 3
Para verificar subgrupo de S₄, lembramos o critério: um subconjunto não vazio de um grupo forma subgrupo se for fechado e contiver inversos. Em H já aparece o neutro (1), é fechado (pela tabela) e cada elemento tem seu inverso (g⁻¹ = g³ etc.). Logo H ≤ S₄.
Passo 4
Para ver se H ≤ A₄, basta checar se todas as permutações de H são pares. Uma 4-ciclo tem decomposição em 3 transposições, logo é permutação ímpar. Como (1 2 3 4) ∉ A₄, concluímos que H não está contido em A₄.
Resposta
a) Tabela de multiplicação em H:
b) Sim. H é subgrupo de S₄.
c) Não. H não está contido em A₄, pois (1 2 3 4) é de paridade ímpar.